負の歪度を持つ分布の実際の例

「一般的な分布の実際の例」に触発されて、負のゆがみを示すために人々がどのような教育例を使用するのだろうか？教育で使用される対称分布または正規分布の「標準的な」例は数多くあります-身長や体重のようなものがより密接な生物学的精査に耐えられない場合でも！血圧は正常に近い可能性があります。私は天文学的な測定誤差が好きです-歴史的に興味深いことですが、それらは直感的にはある方向に他の方向にある可能性は低く、小さな誤差は大きな方向にある可能性が高くなります。

正の歪度の一般的な教育学的例には、人々の収入が含まれます。販売のための中古車の走行距離; 心理学実験における反応時間; 住宅価格; 保険顧客による事故請求の数; 家族の子供の数。それらの物理的妥当性は、しばしば下限値（通常はゼロ）に制限されているために生じます。

ネガティブスキューについては、明確な上限がある現実の分布が少ないため、若い視聴者（高校生）が直感的に把握できる明確で鮮明な例を与えることは困難です。学校で教えられた悪い味の例は「指の数」でした。ほとんどの人は10人ですが、事故で1人以上を失う人もいます。結果は「99％の人が平均以上の指を持っている」ということでした！10は厳密な上限ではないため、多指症は問題を複雑にします。指の紛失と余分な指の両方はまれなイベントであるため、優勢に影響する学生には不明確かもしれません。

通常、高い二項分布を使用します。しかし、学生はしばしば、「バッチ内の不良コンポーネントの数が正に歪んでいる」という補完的な事実よりも「バッチ内の満足できるコンポーネントの数が負に歪んでいる」と感じる。（教科書は産業をテーマにしています。12個入りの箱に入った割れた卵と無傷の卵を好みます。）生徒は「成功」はめったにないと思うかもしれません。$p$

別のオプションは、が正に歪んでいる場合、が負に歪んでいることを指摘することですが、これを実用的なコンテキスト（「負の住宅価格が負に歪んでいる」）に置くことは、教育的失敗の運命にあるように思われることです。データ変換の効果を教えることには利点がありますが、最初に具体的な例を挙げるのが賢明なようです。ネガティブスキューが非常に明確であり、学生の生活経験が分布の形状を認識できるようにする、人工的ではないものを好むでしょう。− $X$$-X$

英国では、本の価格。一般にモーダル価格になる「推奨小売価格」があり、実質的にどこにもこれ以上支払う必要はありません。しかし、一部の店は値引きし、いくつかの店は大幅に値引きします。

また、退職年齢。ほとんどの人は65〜68歳で退職します。これは州の年金が始まるときで、長く働く人はほとんどいません。

それから、人々が得るGCSEの数。ほとんどの子供は8〜10歳で入場するため、8〜10歳になります。少数ではありません。一部の子供たちはすべての試験に合格しないため、0から7に着実に増加しています。

ニック・コックスは、「先進国では死の年齢が負に歪んでいる」と正確にコメントしており、これは素晴らしい例だと思いました。

オーストラリアの統計局（特に、このExcelシートを使用）から手に入れられる最も便利な数字は、年齢ビンが100歳になり、オーストラリアの最年長の男性が111歳だったためです。 110年で最終ビンを快適に切断できました。他の国家統計機関はしばしば95で停止するように見え、最終ビンが不快なほど広くなりました。結果のヒストグラムは、非常に明確な負のゆがみと、幼児の死亡率の小さなピークなど、クラスの議論や解釈に適した他の興味深い特徴を示しています。

生データを含むRコードが続きます。HistogramTools パッケージは、集計データに基づいたプロットに非常に有用であることが判明しました。このStackOverflowの質問に感謝します。

library(HistogramTools)

deathCounts <- c(565, 116, 69, 78, 319, 501, 633, 655, 848, 1226, 1633, 2459, 3375, 4669, 6152, 7436, 9526, 12619, 12455, 7113, 2104, 241)
ageBreaks <- c(0, 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 110)

myhist <- PreBinnedHistogram(
    breaks = ageBreaks,
    counts = deathCounts,
    xname = "Age at Death of Australian Males, 2012")
plot(myhist)

以下は、2012年オリンピック男子ロングジャンプの予選ラウンドで合法的なジャンプを正常に完了した40人のアスリートの結果です。

負の歪度を説明する前のメーターよりも、競合他社のメイングループの後ろにメーターを置く方がはるかに簡単なようです。

トップエンドでのバンチングの一部は、アスリートが可能な限り最長の距離を達成するのではなく、資格（トップ12のフィニッシュまたは8.10メートル以上の結果を必要とする）をターゲットにしているためと思われます。上位2つの結果が自動予選マークのすぐ上の8.11メートルであったという事実は、決勝でメダルを獲得したジャンプが8.31、8.16および8.12メートルで長く広がった方法と同様に、強く示唆しています。ファイナルの結果には、わずかな、有意ではない、負のスキューがありました。

比較のために、1988年ソウル五輪の結果heptathlonは、Rパッケージのデータセットで利用できますHSAUR。その競争では予選ラウンドはありませんでしたが、各イベントは最終的な分類に向けてポイントを提供しました。女性の競技者は、高跳びの結果で顕著な負の歪度を示し、長跳びではやや負の歪度を示しました。興味深いことに、これはスローイベント（ショットとジャベリン）でも再現されませんでしたが、それらはより高い数値がより良い結果に対応するイベントでもあります。最終的なポイントスコアもややマイナスに歪んでいました。

データとコード

require(moments)
require(ggplot2)

sourceAddress <- "http://www.olympic.org/olympic-results/london-2012/athletics/long-jump-m"

longjump.df <- read.csv(header=TRUE, sep=",", text="
rank,name,country,distance
1,Mauro Vinicius DA SILVA,BRA,8.11 
2,Marquise GOODWIN,USA,8.11
3,Aleksandr MENKOV,RUS,8.09
4,Greg RUTHERFORD,GBR,8.08
5,Christopher TOMLINSON,GBR,8.06
6,Michel TORNEUS,SWE,8.03
7,Godfrey Khotso MOKOENA,RSA,8.02
8,Will CLAYE,USA,7.99
9,Mitchell WATT,AUS,7.99,
10,Tyrone SMITH,BER,7.97,
11,Henry FRAYNE,AUS,7.95,
12,Sebastian BAYER,GER,7.92,
13,Christian REIF,GER,7.92,
14,Eusebio CACERES,ESP,7.92,
15,Aleksandr PETROV,RUS,7.89,
16,Sergey MORGUNOV,RUS,7.87,
17,Mohammad ARZANDEH,IRI,7.84,
18,Ignisious GAISAH,GHA,7.79,
19,Damar FORBES,JAM,7.79,
20,Jinzhe LI,CHN,7.77,
21,Raymond HIGGS,BAH,7.76,
22,Alyn CAMARA,GER,7.72,
23,Salim SDIRI,FRA,7.71,
24,Ndiss Kaba BADJI,SEN,7.66,
25,Arsen SARGSYAN,ARM,7.62,
26,Povilas MYKOLAITIS,LTU,7.61,
27,Stanley GBAGBEKE,NGR,7.59,
28,Marcos CHUVA,POR,7.55,
29,Louis TSATOUMAS,GRE,7.53,
30,Stepan WAGNER,CZE,7.50,
31,Viktor KUZNYETSOV,UKR,7.50,
32,Luis RIVERA,MEX,7.42,
33,Ching-Hsuan LIN,TPE,7.38,
33,Supanara SUKHASVASTI N A,THA,7.38,
35,Boleslav SKHIRTLADZE,GEO,7.26,
36,Xiaoyi ZHANG,CHN,7.25,
37,Mohamed Fathalla DIFALLAH,EGY,7.08,
38,Roman NOVOTNY,CZE,6.96,
39,George KITCHENS,USA,6.84,
40,Vardan PAHLEVANYAN,ARM,6.55,
NA,Luis MELIZ,ESP,NA,
NA,Irving SALADINO,PAN,NA")

roundedSkew <- signif(skewness(longjump.df$distance, na.rm=TRUE), 3)

ggplot(longjump.df, aes(x=distance)) + 
    xlab("Distance in metres") +
    ggtitle("London 2012 Men's Long Jump qualifying round results") +
    geom_rug(size=0.8) + 
    geom_density(fill="steelblue") +
    annotate("text", x=7.375, y=0.0625, colour="white", label=paste("Source:", sourceAddress), size=3) +
    annotate("rect", xmin = 6.25, xmax = 7.25, ymin = 0.5, ymax = 1.125, fill="white") +
    annotate("text", x=6.75, y=1, colour="black", label="Best jump in up to 3 attempts") +
    annotate("text", x=6.75, y=.875, colour="black", label="42 athletes competed") +
    annotate("text", x=6.75, y=.75, colour="black", label="2 athletes had no legal jump") +
    annotate("text", x=6.75, y=.625, colour="black", label=paste("Skewness = ", roundedSkew))


# Results of the top twelve who qualified for the Final were closer to symmetric
skewness(longjump.df$distance[1:12])
# -0.1248782

# Results in the Final (some had 3 jumps, others 6) were only slightly negatively skewed
skewness(c(8.31, 8.16, 8.12, 8.11, 8.10, 8.07, 8.01, 7.93, 7.85, 7.80, 7.78, 7.70))
# -0.08578357

# Compare to Seoul 1988 Heptathlon
require(HSAUR)
skewness(heptathlon)

簡単なテストのスコア、あるいは生徒が特にやる気のあるテストのスコアは、偏ったままになる傾向があります。

その結果、大学を求めて入学する学生のSAT / ACTスコア（さらにはGPA）は歪んでいる傾向があります。collegeapps.about.comには多くの例があります。たとえば、シカゴ大学のSAT / ACTとGPAのプロットはこちらです。

同様に、卒業生のGPAはしばしば左斜めになります。たとえば、ティムのグラムリングの図5から取られた営利大学の白人および黒人卒業生のGPAの下のヒストグラム。「5つの学生の特性が、営利目的の大学卒業率を正確に予測する方法。」SAGE Open 3.3（2013）：2158244013497026。

（他の同様の例を見つけるのは難しくありません。）

確率的フロンティア分析、特に歴史的に最初の焦点である生産では、一般に企業/生産ユニットの生産機能は確率的に次のように指定されます。

$q$$f(\mathbf x)$$\mathbf x$$u$$w$計量経済学者は知らないかもしれないが、彼はこのセットアップを介して測定することができます。この確率変数は通常、半正規分布または指数分布に従うと想定されます。（理由のために）通常の半分を仮定すると、

$\sigma_2$

$\varepsilon = u-w$

$0$$s_2$$(-\frac {\sigma_2}{\sigma_u})$$\phi$$\Phi$$\sigma_u =1, \;\; \sigma_2 = 3$

ネガティブスキューネスは、人類の努力の最も自然なモデリングです：常にその理想から逸脱しています-ほとんどの場合、それよりも遅れています（密度のマイナス部分）が、比較的少ないケースでは、知覚限界を超える（密度の正の部分）。学生自身は、そのような生産機能としてモデル化できます。対称外乱と片側誤差を現実の側面にマッピングするのは簡単です。どれほど直感的に理解できるか想像できません。

負の歪度は、洪水水文学では一般的です。以下は、オーストラリアのエンジニアが開発した洪水推定のガイドである「オーストラリアの降雨と流出」（ARR）から取った洪水頻度曲線の例です（サウスクリーク、マルゴアロード、緯度-33.8783、経度150.7683）。

ARRにはコメントがあります。

オーストラリアの洪水の対数値で一般的な負のスキューでは、対数Pearson III分布に上限があります。これにより、分布から引き出せる洪水の上限が与えられます。場合によっては、これは低AEPの洪水の推定に問題を引き起こす可能性がありますが、多くの場合、実際には問題を引き起こしません。[オーストラリアの降雨と流出から抽出-第1巻、第IV部第2節。]

多くの場合、特定の場所での洪水には、「Probable Maximum Flood」（PMF）と呼ばれる上限があると見なされます。PMFを計算する標準的な方法があります。

資産価格の変更（リターン）には、通常、マイナスのスキューがあります-いくつかの大きな値下げで多くの小さな価格が上昇します。スキューは、株価、商品価格など、ほぼすべての種類の資産に当てはまります。マイナスのスキューは、毎月の価格変動で観察できますが、毎日または毎時の価格変動を見始めると、より明確になります。スキューの周波数の影響を示すことができるので、これは良い例だと思います。

詳細：http : //www.fusioninvesting.com/2010/09/what-is-skew-and-why-is-it-important/

分娩時の妊娠期間（特に出生時）は歪んでいます。乳児は非常に早い時期に生まれることができますが（早すぎると生存が継続する可能性はわずかですが）、36〜41週間の間にピークに達し、急速に落ちます。41/42週間で米国の女性が誘発されるのは一般的であるため、それ以降は多くの分娩は通常見られません。

漁業では、規制要件のためにマイナスのスキューの例がしばしばあります。たとえば、レクリエーション漁業で放出される魚の長さの分布。魚が保持されるために必要な最小長が時々あるため、制限内のすべての魚は破棄されます。しかし、人々は合法的な長さの魚がいる傾向がある場所で釣りをするので、法的な上限に向かって負のゆがみとモードがある傾向があります。ただし、正当な長さは厳密な切り捨てではありません。バッグの制限（またはドックに持ち帰ることができる魚の数の制限）により、人々はより大きな魚を捕まえた場合でも合法的なサイズの魚を捨てます。

例：Sauls、B.2012。メキシコ湾でのレクリエーション漁業調査からのレッドスナッパー廃棄物のサイズ分布と放出条件に関するデータの要約。SEDAR31-DW11。SEDAR、ノースチャールストン、SC。29ページ

このスレッドではいくつかの素晴らしい提案がなされています。年齢に関連した死亡率のテーマでは、機械の故障率はしばしば機械の年齢の関数であり、このクラスの分布に分類されます。すでに指摘した財務的要因に加えて、特にBIS III（国際決済銀行）の予想不足額（ES）の推定値に見られるように、極端な価値のある損失の場合、財務損失関数と分布は通常これらの形状に似ています。または、BIS IIでは、資本準備金配分の規制要件への入力としてのバリューアットリスク（VAR）。

米国の退職年齢はマイナスに歪んでいます。退職者の大部分は高齢で、退職者は比較的若い。

ランダム行列理論では、Tracy Widom分布は右に歪んでいます。これは、ランダム行列の最大固有値の分布です。対称性により、最小の固有値は負のTracy Widom分布を持つため、左に歪んでいます。

これはおおよそ、ランダムな固有値が互いに反発する荷電粒子に似ているという事実によるものです。したがって、最大の固有値は残りから押し出される傾向があります。これは誇張された写真です（ここから取られます）：