PCAまたはFAのスコアまたは負荷のサインには意味がありますか？記号を逆にすることはできますか？

2つの異なる関数（prcompおよびprincomp）を使用してRで主成分分析（PCA）を実行し、PCAスコアの符号が異なることを観察しました。どうすればいいの？

このことを考慮：

set.seed(999)
prcomp(data.frame(1:10,rnorm(10)))$x

            PC1        PC2
 [1,] -4.508620 -0.2567655
 [2,] -3.373772 -1.1369417
 [3,] -2.679669  1.0903445
 [4,] -1.615837  0.7108631
 [5,] -0.548879  0.3093389
 [6,]  0.481756  0.1639112
 [7,]  1.656178 -0.9952875
 [8,]  2.560345 -0.2490548
 [9,]  3.508442  0.1874520
[10,]  4.520055  0.1761397

set.seed(999)
princomp(data.frame(1:10,rnorm(10)))$scores
         Comp.1     Comp.2
 [1,]  4.508620  0.2567655
 [2,]  3.373772  1.1369417
 [3,]  2.679669 -1.0903445
 [4,]  1.615837 -0.7108631
 [5,]  0.548879 -0.3093389
 [6,] -0.481756 -0.1639112
 [7,] -1.656178  0.9952875
 [8,] -2.560345  0.2490548
 [9,] -3.508442 -0.1874520
[10,] -4.520055 -0.1761397

+/-2つの分析で符号（）が異なるのはなぜですか？私は、主要なコンポーネントを使用していた場合PC1とPC2回帰における予測因子として、すなわちlm(y ~ PC1 + PC2)、これは完全に私の二つの変数の影響についての理解を変更しますy私が使用した方法に応じて！どうすれば、PC1たとえば肯定的な効果がyあり、PC2たとえば否定的な効果があると言えyますか？

さらに、PCAコンポーネントの符号に意味がない場合、これは因子分析（FA）にも当てはまりますか？個々のPCA / FAコンポーネントスコア（またはローディングマトリックスの列としてのローディング）の符号を反転（反転）することは可能ですか？

PCAは単純な数学的変換です。コンポーネントの符号を変更しても、最初のコンポーネントに含まれる分散は変更しません。さらに、符号を変更すると、重み（prcomp( ... )$rotation）も符号を変更するため、解釈はまったく同じままになります。

set.seed( 999 )
a <- data.frame(1:10,rnorm(10))
pca1 <- prcomp( a )
pca2 <- princomp( a )
pca1$rotation

ショー

                 PC1       PC2
X1.10      0.9900908 0.1404287
rnorm.10. -0.1404287 0.9900908

そしてpca2$loadingsショー

Loadings:
          Comp.1 Comp.2
X1.10     -0.99  -0.14 
rnorm.10.  0.14  -0.99 

               Comp.1 Comp.2
SS loadings       1.0    1.0
Proportion Var    0.5    0.5
Cumulative Var    0.5    1.0

それでは、なぜ解釈が同じままなのでしょうか？

yコンポーネント1 でPCA回帰を実行します。最初のバージョン（prcomp）では、係数が正であると言います。コンポーネント1が大きいほどyが大きくなります。元の変数に関してはどういう意味ですか？変数1（1:10a内）の重みは正であるため、変数1が大きいほどyが大きいことを示しています。

次に、2番目のバージョン（princomp）を使用します。コンポーネントの符号が変更されているため、yが大きいほど、コンポーネント1は小さくなります。PC1上のy <の係数は負になります。ただし、変数1のロードも同様です。つまり、変数1が大きくなると、コンポーネント1が小さくなり、yが大きくなります。解釈は同じです。

おそらく、それを確認する最も簡単な方法はバイプロットを使用することです。

library( pca3d )
pca2d( pca1, biplot= TRUE, shape= 19, col= "black"  )

ショー

2番目のバリアントの同じバイプロットは、

pca2d( pca2$scores, biplot= pca2$loadings[,], shape= 19, col= "black" )

ご覧のとおり、画像は180°回転しています。ただし、重量/荷重（赤い矢印）とデータポイント（黒い点）の関係はまったく同じです。したがって、コンポーネントの解釈は変更されません。

この質問はこのフォーラムでよく聞かれるので、@ Januaryの優れた答えをもう少し一般的な考慮事項で補足したいと思います。

$x_1, x_2, ... x_d$$z_1, z_2, ... z_k$$x_1$$z_1$$z_2$$x_1 \approx 2z_1 + 3z_2$$2$$3$

$z_1$

結論は、各PCAまたはFAコンポーネントについて、そのスコアと負荷の符号はarbitrary意的で無意味であるということです。スコアと負荷の両方の符号が同時に反転する場合のみ、それを反転できます。

$180^\circ$