PCAで「プリンシパルコンポーネント」と正確に呼ばれるものは何ですか？

仮定デザイン行列とのデータの投影の分散最大化するベクトルである。$u$$X$

ここで、$u$をデータの（最初の）主成分として参照する資料を見ました。これは最大の固有値を持つ固有ベクトルでもあります。

ただし、データの主成分は$X u$。

明らかに、$u$と$Xu$は異なるものです。誰でもここで私を助けて、主成分のこれら2つの定義の違いを教えてもらえますか？

あなたが観察で絶対正しいことにもかかわらず$\mathbf{u}$（共分散行列の固有ベクトルの1つ、例えば最初のもの）と$\mathbf{X}\mathbf{u}$の1次元へのデータの（投影\ mathbf {u}がまたがる部分空間$\mathbf{u}$は2つの異なるものであり、両方とも「プリンシパルコンポーネント」と呼ばれることもあり、同じテキストの場合もあります。

ほとんどの場合、正確に何を意味するのかはコンテキストから明らかです。ただし、まれなケースでは、たとえば、異なる方向が直交する必要のない関連する手法（スパースPCAやCCAなど）を説明する場合など、非常に紛らわしい場合があります。この場合、「コンポーネントは直交しています」などのステートメントは、軸または投影のどちらを参照するかによって、非常に異なる意味を持ちます。$\mathbf{u}_i$

を「主軸」または「主方向」と呼び、を「主成分」と呼ぶことを推奨します。X $\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

「主成分ベクトル」と呼ばれるも見ました。$\mathbf u$

代替の規則は、 "principal component"および "principal component score" を呼び出すことです。X $\mathbf u$$\mathbf{Xu}$

2つの規則の要約：

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

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注：非ゼロの固有値に対応する共分散行列の固有ベクトルのみを主方向/成分と呼ぶことができます。共分散行列が低ランクの場合、1つ以上のゼロ固有値があります。対応する固有ベクトル（および対応するゼロが一定の投影）は、主方向/成分と呼ばれるべきではありません。ここで私の答えにいくつかの議論を参照してください。