HMM Baum-Welchでの後方変数のスケーリング

スケーリングされたBaum-Welchアルゴリズムを実装しようとしていますが、スケーリング後の後方変数が1の値を超えているという問題に遭遇しました。これは正常ですか？結局のところ、確率は1を超えてはなりません。

私はフォワード変数から取得したスケール係数を使用しています：

$$c_t = 1 / \sum_{s\in S}\alpha_t(s)\\ $$ ここで、c_tは時間tのスケーリング係数、alphaは前方変数、sはhmmの状態です。

後方アルゴリズムについては、以下のJavaで実装しました。

public double[][] backwardAlgo(){
        int time = eSequence.size();
        double beta[][] = new double[2][time];

        // Intialize beta for current time
        for(int i = 0; i < 2; i++){
            beta[i][time-1] = scaler[time-1];
        }

        // Use recursive method to calculate beta
        double tempBeta = 0;
        for(int t = time-2; t >= 0; t--){
            for(int i = 0; i < 2; i++){
                for(int j = 0; j < 2; j++){
                    tempBeta = tempBeta + (stateTransitionMatrix[i][j] * emissionMatrix[j][eSequence.get(t+1)] * beta[j][t+1]);
                }
                beta[i][t] = tempBeta;
                beta[i][t] = scaler[t] * beta[i][t];
                tempBeta = 0;
            }
        }
        return beta;
    }

スケールは、スケーラーと呼ばれる配列に格納されます。このうーんには2つの状態があります。また、取得しているスケールファクターも1を超えていることにも注意してください。

これ自体は問題を示していません。は、までの観測された出力シーケンスがあった確率です。したがって、が1より大きいことは問題ありません。また、たとえば場合、それは、1つを超える場合もあります。T T 0、T 1、... 、C T β T iは、mはE - 1 Σ S ∈ S β T iは、mはE - 1（S ）= | S | c t − $\sum_{s \in S} \alpha_t(s)$$t$$t_0, t_1, \dots,$ eSequence.get(t)$c_t$$\beta_{\mathrm{time}-1}$$\sum_{s \in S}\beta_{\mathrm{time}-1}(s) = |S|c_{\mathrm{t}-1}$

スケーリングされた表すので、私は別のアイデアを持っています$\beta$

$$β_t(s) = \frac {p (x_{t+1},...,x_N | s_t = s)}{p (x_{t+1},...,x_N | x_1,...,x_t)}$$

したがって、は1を超える可能性があると思います。$\beta$

このメモを参照（8ページ）