正規リンク関数は常に一般化線形モデル（GLM）に存在しますか？

GLMでは、pdfを使用して、基になる分布に対してスカラーおよびを 仮定します。 \ mu = \ operatorname {E}（Y）= A '（\ theta）である ことを示すことができます。リンク関数g（\ cdot）が次の条件を満たす場合、g（\ mu）= \ theta = X '\ betaここで、X' \ betaは線形予測子であり、g（\ cdot）はこれに対する正準リンク関数と呼ばれますモデル。θ F Y（Y |$Y$$\theta$μ=E（Y）

$$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$$ $\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$$g(\cdot)$X ' β G （⋅ $$g(\mu)=\theta = X'\beta$$ $X'\beta$$g(\cdot)$

私の質問は、GLMには標準リンク関数が常に存在するのですか？つまり、$A'(\theta)$常に反転できますか？正準リンク関数が存在するために必要な条件は何ですか？

これらの分布の場合、A '（\ theta）= E（Y）$A'(\theta) = E(Y)$および$A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

分散と分散のパラメーターは非ゼロ（さらには正）であるため、$A'(\theta)$は厳密に増加する関数であり、可逆でなければなりません。

ただし、分散が無限であるこのファミリーの分布があるかどうかはわかりません。そのような例を見つけることができませんでした。