ベリー反転

米国のワイン販売に関する大量の市場データがあり、特定の高品質ワインの需要を推定したいと思います。これらの市場シェアは、基本的形態のランダム効用モデルから導出された観察含まを製品特性、は製品価格、

U_{i j t} = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t} + ϵ_{i j t} \equiv δ_{j t} + ϵ_{j t}

$U_{ijt} = X’_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt} + \epsilon_{ijt} \equiv \delta_{jt} + \epsilon_{jt}$

X

$X$

p

$p$

ξ

$\xi$ は需要に影響を与え、価格と相関する観測されていない製品特性であり、

は誤差項、

個人、

製品、

市場（この場合は都市）にインデックスを付けます。

ϵ

$\epsilon$

i

$i$

j

$j$

t

$t$

観測されていない品質項ために、通常の条件付きロジットモデルを使用することはできません。また、適切な機器がありません。しかし、Berry（1994）は、多項ロジットフレームワークで市場方程式の非線形システムを線形化する戦略を開発しましたが、彼がどのように反転ステップを行うのかわかりません。 $\xi$

真のパラメータ値で彼は、推定市場シェアは、「真」の市場シェアに等しくなければならないことを言う彼はその後、市場シェアを反転させることを示唆しているためなどからに $\widehat{s}_{jt} (X, \beta , \alpha , \xi) = S_{jt}$

S_{j t} = {\hat{s}}_{j t} (δ, α, β)

$S_{jt} = \widehat{s}_{jt}(\delta , \alpha , \beta)$

δ = {\hat{s}}^{- 1} （ S 、 α 、 β ）

$\delta = \widehat{s}^{-1}(S, \alpha, \beta)$ これにより、

を解き、排除することができます。誰かがこの反転ステップがどのように機能するかを明らかにしたり、Stataに実装することさえできれば、これは素晴らしいことです。どうもありがとう。

ξ

$\xi$

Berry、ST 1994、「製品差別化の離散選択モデルの推定」、Rand Journal of Economics、Volume 25、Number 2、242-62ページ

— user40339
ソース

{\hat{s}}_{j t} = \frac{\exp （ δ_{j t} ）}{1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp （ δ_{g t} ）}

$\widehat{s}_{jt} = \frac{\exp(\delta_{jt})}{1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt})}$

ログ （ {\hat{s}}_{j t} ） = δ_{j t} - ログ （ 1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp （ δ_{g t} ） ）

$\log (\widehat{s}_{jt}) = \delta_{jt} – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

ログ （ {\hat{s}}_{0 t} ） = 0 - ログ （ 1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp （ δ_{g t} ） ）

$\log (\widehat{s}_{0t}) = 0 – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

$\delta_{jt}$

δ_{j t} = ログ （ {\hat{s}}_{j t} ） - ログ （ {\hat{s}}_{0 t} ） = {バツ}_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t}

$\delta_{jt} = \log (\widehat{s}_{jt}) – \log (\widehat{s}_{0t}) = X'_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}$

ξ_{j t}

$\xi_{jt}$ 。市場は互いに独立していると想定されていることに注意してください。

概念を明確にするために、Stataの例を考えてみましょう。このような演習に適したデータセットはありませんので、集計データがあると仮定します。

5製品（prod）
製品価格（p）
販売数（q）
2つの製品特性（x1, x2）

商品1が10-20％の市場シェアを持つ外部商品であり（市場によって異なる）、残りが他の商品に分割されているとします。Stataで行うことは次のとおりです。

* calculate the market share of your goods in all markets
egen mktsales = sum(q), by(mkt)
gen share = q/mktsales

* generate logs
gen ln_share = ln(share)

* subtract the log share of the outside good from the log share of the inside goods
gen diffshare = .
forval i = 1(1)100 {
    qui sum ln_share if prod==1 & mkt==`i’
    replace diffshare = ln_share - `r(max)’ if mkt==`i’
}

* run the regression
reg diffshare p x1 x2

そして、これにより、需要の推定のためにベリーの反転またはベリーのロジットが得られます。注意が必要な点は、製品の特性が観察されていない場合 $\xi_{jt}$ 価格と相関する要因（製品の品質や広告キャンペーンなど）を含める場合は、インストルメンタル変数回帰を使用する必要があります。市場需要システムを線形化したため、これを行うことができます。したがって、標準の2SLSがオプションです。

この場合、価格を外生的に変更するものが必要ですが、それは需要に影響しません。経済学の経験的な産業組織の文献で使用されている一般的な手段は、コストシフターです（Berry et al。、1995を参照）。消費者の評価が良いという仮定の下でのライバル企業の製品特性 $i$ 他の製品の特性に依存しない（Nevo、2001を参照）またはデータに空間的次元がある場合、Hausman（1997）は都市Aのブランドの価格変更を使用して都市Bの価格を計測します。両方の都市のブランドの限界費用は共通ですが、同じ需要ではありません。

代替案として、ベリー等。（1995）ランダム係数ロジットモデルを開発し、これにより、より正確な独自の価格間弾力性と、商品間のより柔軟な代替パターンを提供します。

参照：

Berry、S.、J。Levinsohn＆A. Pakes（1995）、「市場均衡における自動車価格」、Econmetrica、63、4、841-90
Hausman、J。、「完全および不完全な競争の下での新しい商品の評価」、Bresnahan and Gordon（eds。）、The Newtics of New Goods、NBER Studies in Income and Wealth 58、1997、209-237
Nevo、A.（2001）、「すぐに食べられる穀物産業における市場力の測定」、Econometrica、69、2、307-42

— アンディ
ソース