レプトクルティック分布を正規性に変換する方法は？

正常に変換したいレプトクルティック変数があるとします。このタスクを達成できる変換は何ですか？データを変換することが常に望ましいとは限らないことをよく知っていますが、学術的な追求として、データを正常に「ハンマー」したいとします。さらに、プロットからわかるように、すべての値は厳密に正です。

さまざまな変換を試しました（これまでに使用したものはほとんどすべて、など）、しかし、どれも特にうまく機能しません。レプトクルティック分布をより正規にするためのよく知られた変換はありますか？$\frac 1 X,\sqrt X,\text{asinh}(X)$

以下の標準QQプロットの例を参照してください。

私が使用して重い尾ランバートWをF分布をxは急尖データを記述して変換します。詳細と参照については、次の投稿を参照してください：

• $\delta$
• これらのデータの分布は何ですか？：これを使用してモデルパラメーターを推定し、データをガウス化する方法の応用例。

以下は、LambertW Rパッケージを使用した再現可能な例です。

library(LambertW)
set.seed(1)
theta.tmp <- list(beta = c(2000, 400), delta = 0.2)
yy <- rLambertW(n = 100, distname = "normal", 
                theta = theta.tmp)

test_norm(yy)

## $seed
## [1] 267509
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.008
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.003
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 1, p-value = 0.01

yy$\times$$X \sim N (2000, 400)$$\delta = 0.2$$\leq 5$

さて、あなたの質問に戻りましょう。このレプトカーティックデータを再び正常にする方法は？さて、MLEを使用して（またはモーメント法を使用してIGMM()）分布のパラメーターを推定できます。

mod.Lh <- MLE_LambertW(yy, distname = "normal", type = "h")
summary(mod.Lh)

## Call: MLE_LambertW(y = yy, distname = "normal", type = "h")
## Estimation method: MLE
## Input distribution: normal
## 
##  Parameter estimates:
##        Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     2.05e+03    4.03e+01    50.88   <2e-16 ***
## sigma  3.64e+02    4.36e+01     8.37   <2e-16 ***
## delta  1.64e-01    7.84e-02     2.09    0.037 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## -------------------------------------------------------------- 
## 
## Given these input parameter estimates the moments of the output random variable are 
##   (assuming Gaussian input): 
##  mu_y = 2052; sigma_y = 491; skewness = 0; kurtosis = 13.

W_delta()$X$

# get_input() handles does the right transformations automatically based on
# estimates in mod.Lh
xx <- get_input(mod.Lh)
test_norm(xx)

## $seed
## [1] 218646
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 1
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 1
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 0.1, p-value = 1

出来上がり！

$\text{sign(.)}\cdot\text{abs(.)}^{\frac 1 3}$$Y-\text{median}(Y)$

立方根変換はうまく機能しませんでしたが、平方根とより不明瞭な4分の3の根がうまく機能することがわかりました。

元の質問のレプトクルティック変数のQQプロットに対応する元のカーネル密度プロットは次のとおりです。

偏差に平方根変換を適用すると、QQプロットは次のようになります。

より良いが、それはより近いことができます。

さらに4分の3のルート変換を偏差に適用すると、次の結果が得られます。

そして、この変換された変数の最終的なカーネル密度は次のようになります。

私の近くに見えます。

多くの場合、通常に近い結果を生成する単純な形式の単調な変換はないかもしれません。

たとえば、さまざまなパラメーターの対数正規分布の有限混合である分布があるとします。対数変換は、混合物の成分のいずれかを正規性に変換しますが、変換されたデータ内の法線の混合物は、正常ではない何かを残します。

または、比較的優れた変換がありますが、試してみたいと思われる形式の1つではありません。データの分布がわからない場合は、見つけられない可能性があります。たとえば、データがガンマ分布である場合、正規分布への正確な変換（確かに存在します）を見つけることさえできません。形状パラメーターが小さすぎない限り、ケースは通常にかなり近くなります）。

データが変換されるのに適度に見える可能性がありますが、明らかな変換のリストのいずれでも見栄えがよくない無数の方法があります。

データへのアクセスを許可できる場合は、大丈夫な変換を見つけることができるか、見つからない理由を示すことができます。

視覚的な印象から見ると、スケールが異なる2つの法線が混在しているように見えます。非対称性のほんの少しのヒントがあり、それは偶然に簡単に観察できます。共通の平均を持つ2つの法線の混合からのサンプルの例を次に示します-あなたが見るように、それはあなたのプロットにかなり似ています1 sdの平均値の両側の統計）。

実際、ここにあなたと私のものが重ねられています：

$\quad\quad\quad$