最尤推定はどのようにして近似正規分布を持っていますか？

適合分布を生成する方法としてMLEについて読んでいます。

最尤推定値は「おおよその正規分布をしている」という声明に出くわしました。

これは、自分のデータと適合させようとしている分布のファミリーにMLEを繰り返し適用した場合、取得したモデルは通常の分布になることを意味しますか？一連の分布にはどの程度正確に分布がありますか？

推定量は統計であり、統計にはサンプリング分布があります（つまり、同じサイズのサンプルを描画し続け、得られた推定値の分布（サンプルごとに1つ）を見続ける状況について話しています）。

引用は、サンプルサイズが無限に近づくときのMLEの分布に言及しています。

それでは、指数分布のパラメーター（レートパラメーター化ではなくスケールパラメーター化を使用）の明示的な例を考えてみましょう。

$\hat \mu = \bar x$$n$$\bar X$

サイズ1のサンプルを繰り返し取得する場合、結果のサンプル平均密度は左上のプロットに表示されます。サイズ2のサンプルを繰り返し取得する場合、結果のサンプル平均密度は右上のプロットに表示されます。右下にあるn = 25までに、標本平均の分布はすでにはるかに正常に見え始めています。

$1/\bar X$$\lambda=1/\mu$

次に、既知のスケール平均を持つガンマ分布の形状パラメーターを考えます（ここでは、スケールと形状ではなく、平均と形状のパラメーター化を使用しています）。

この場合、推定器は閉じた形式ではなく、CLTは適用されません（ここでも、少なくとも直接*ではありません）が、尤度関数のargmaxはMLEです。より多くのサンプルを取得すると、形状パラメーター推定のサンプリング分布はより正常になります。

$n$

-

$\hat{\theta}$$\hat{\theta}$

また、小さなサンプル（少なくとも無限大と比較して小さい）を見ているときに見られる効果-上記のプロットによって動機付けされているように、さまざまな状況での正規性への定期的な進行-が次のことを示唆していることにも注意してください。標準化された統計の累積分布関数を検討しましたが、サンプリング分布が正規性にゆっくりと近づく限界を提供するMLEでCLT引数を使用する方法と同様のアプローチに基づく、ベリーエッセンの不等式のバージョンがあるかもしれません。私はそのようなものを見たことがありませんが、それが行われたことを見つけるのに私を驚かせません。