線形ガウスカルマンフィルターの対数尤度パラメーター推定

n次元状態ベクトルの線形ガウス状態空間解析用に、カルマンフィルタリングを実行できるコードをいくつか作成しました（多くの異なるカルマンタイプのフィルター[情報フィルターなど]を使用）。フィルターはうまく機能し、いくつかの素晴らしい出力を得ています。ただし、対数尤度推定によるパラメーター推定は私を混乱させます。私は統計学者ではなく物理学者なので、親切にしてください。

線形ガウス状態空間モデルを考えてみましょう

$$y_t = \mathbf{Z}_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t},$$ $$\alpha_{t + 1} = \mathbf{T}_{t}\alpha_{t} + \mathbf{R}_{t}\eta_{t},$$

ここで、は観測ベクトル、は時間ステップ状態ベクトルです。太字の量は、対象のシステムの特性に従って設定される状態空間モデルの変換行列です。私たちも持っています$y_{t}$$\alpha_{t}$$t$

η T〜N I D （0 、QはT）、α 1〜N I D （1、P 1）

$$\epsilon_{t} \sim NID(0, \mathbf{H}_{t}),$$ $$\eta_{t} \sim NID(0, \mathbf{Q}_{t}),$$ $$\alpha_{1} \sim NID(a_{1}, \mathbf{P}_{1}).$$

ここで、です。ここで、初期パラメーターと分散行列を推測することにより、この一般的な状態空間モデルのカルマンフィルターの再帰を導出および実装しました\ mathbf {H} _ {1}および\ mathbf {Q} _ {1}プロットを作成できますお気に入りH 1 Q $t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

ここで、ポイントは100年以上にわたる1月のナイル川の水位であり、線はカラーン推定状態であり、破線は90％の信頼水準です。

さて、この1Dデータセットの行列とは、それぞれスカラーとすぎません。カルマンフィルターの出力と対数尤度関数を使用して、これらのスカラーの正しいパラメーターを取得したいQ T σ ε σ $\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

$$\log L(Y_{n}) = -\frac{np}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\sum^{n}_{t = 1}(log|\mathbf{F}_{t}| + v^{\mathsf{T}}_{t}\mathbf{F}_{t}^{-1}v_{t})$$

ここで、は状態エラーで、は状態エラーの分散です。さて、ここで私は混乱しています。カルマンフィルターから、を計算するために必要なすべての情報が得られますが、これによりおよびの最尤を計算できるようになるとは思えません。私の質問は、対数尤度アプローチと上記の方程式を使用して、およびの最尤をどのように計算できますか？アルゴリズムの崩壊は、今の私にとっては冷たいビールのようなものです...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

御時間ありがとうございます。

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注意。1Dの場合のと。これは単変量ローカルレベルモデルです。$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

および値を指定してカルマンフィルターを実行する と、一連のイノベーション およびそれらの共分散が得られるため、指定した式を使用した値。$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$

つまり、カルマンフィルターは、および暗黙関数を計算する方法と見なすことができます。この場合、この計算を関数またはサブルーチンにパッケージ化し、その関数をRのような最適化ルーチンに処理する必要があります。その関数は、入力として およびおよびを返し 。$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Rの一部のパッケージ（例：）dlmはこれを行います（例：関数を参照dlmMLE）。