相関関係はあるが独立ではないおよび簡単な例

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勤勉な学生は、「すべての学生は怠け者」の反例です。

「ランダム変数 $X$ と $Y$ が相関していない場合、それらは独立している」という単純な反例は何ですか？

correlation random-variable independence

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これは重複していると思いますが、検索するのが面倒です。

X \sim N (0, 1)

$X\sim N(0,1)$ および

取り

Y = X^{2}

$Y=X^2$ ます。

c o v (X, Y) = E X^{3} = 0

$cov(X,Y)=EX^3=0$ ですが、明らかに2つの変数は独立ではありません。

— mpiktas 14

1

単純な例（おそらくもっと単純な例もありますが）

— Glen_b -Reinstate Monica 14

1

テイク

U

$U$ 均一に分散されるように

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$ と

X = \cos U

$X=\cos U$ 、

Y = \sin U

$Y = \sin U$ 。

— ディリップサーワテ14

「最も単純な」感覚は定義されていないため、この質問には客観的に答えることができません。周辺分布のサポートのカーディナリティの最も単純な=最小の合計に基づいて、stats.stackexchange.com / questions / 41317で複製を選択しました。

— whuber

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@whuber：「最も単純な」は実際にはあまり明確に定義されていませんが、ここでの答え、たとえばGlen_bによる答えは、これを閉じたスレッドよりもはるかに単純な例を明確に提供しています。私はこれを再開することを提案し（すでに投票しています）、おそらく「最も単純な」が不十分に定義され、OPがおそらくさまざまな「単純な」例を求めているという事実を強調するためにCWにします。

— アメーバは、モニカの復活を

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ましょう $X\sim U(-1,1)$ 。

してみましょう。 $Y=X^2$

変数は無相関ですが、依存しています。

または、それぞれ確率1 / 4、1 / 2、1 / 4の3点（-1,1）、（0、-1）、（1,1）の確率からなる離散二変量分布を考えます。その場合、変数は無相関ですが依存しています。

ダイアモンド（45度回転した正方形）内で均一な2変量データを検討します。変数は無相関ですが、依存します。

これらは、私が考えることができる最も単純なケースについてです。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

対称であり、0を中心とするすべてのランダム変数は無相関ですか？

— マーティントーマ

1

@moose説明があいまいです。「がゼロを中心に対称で、がゼロを中心に対称である場合」を意味する場合、たとえば、標準の標準マージンを持つ2変量正規分布を相関させることができるためです。「がゼロに関して対称で、が偶数関数である場合」という意味であれば、分散が存在する限り、答えはイエスだと思います。何か他のものを意味する場合は、説明する必要があります。

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Glen_b -Reinstateモニカ

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いくつかの単純な反例の本質は、ゼロを中心とする連続的なランダム変数、つまりから始めることでわかると思います。のpdf が偶数で、形式区間で定義されているとし。ここでです。ここで、関数を想定します。ここで質問をします。どのような関数に対してますか？ $X$ $E[X]=0$ $X$ $(-a,a)$ $a>0$ $Y=f(X)$ $f$ $f(X)$ $Cov(X,f(X))=0$

ことがわかります。仮定すると、まっすぐます。PDF示す介して、我々は持っています $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$ $E[X]=0$ $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$ $X$ $p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ 。

我々が望むとこれを達成する一つの方法は、確実にすることによってであり、意味しても関数であるである奇関数。その後、、ます。 $Cov(X,f(X))=0$ $f(x)$ $xf(x)p(x)$ $\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ $Cov(X,f(X))=0$

このように、pdfが特定の点を中心に対称であり、関数がを定義するために行う限り、の正確な分布は重要ではないことがわかります。 $X$ $f(\cdot)$ $Y$

願わくば、これは学生がこれらのタイプの反例をどのように思いつくかを見るのを助けることができます。

— Harjoat Bhamra
ソース

5

反例（すなわち、勤勉な学生）になろう！とは言うものの：

私は現実世界の例を考えようとしていましたが、これが私の頭に浮かんだ最初のものでした。これは数学的に最も簡単なケースではありません（ただし、この例を理解すれば、urやボールなどを使ったより簡単な例を見つけることができるはずです）。

いくつかの研究によると、男性と女性の平均IQは同じですが、男性IQの分散は女性IQの分散より大きいです。具体的には、男性IQはに従い、女性IQはに従い、ます。人口の半分は男性で、半分は女性です。 $N(100, \sigma^2)$ $N(100, \alpha \sigma^2)$ $\alpha<1$

この研究が正しいと仮定すると：

性別とIQの相関関係は何ですか？

性別とIQは独立していますか？

— ハル
ソース

4

離散確率変数、 $X\in\{-1,0,1\}$ $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

次に、定義します $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

とが無相関であるが独立していないことは簡単に確認できます。 $X$ $Y$

— 頑固な原子
ソース

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これを試してください（Rコード）：

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

これは円の方程式 $x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ はと相関していませんが、機能的に依存しています（決定論的）。 $x$

— アナリスト
ソース

1

サンプル相関ゼロは、真の相関がゼロであることを意味しません。

— mpiktas 14

3

@mpiktasこれらの4つの値がそれぞれ確率1/4の二変量分布を表す場合、corゼロを返す関数は母集団の相関がゼロであることを示します。

— -Glen_b-モニカーの復活2014

@Glen_bコードについてより良いコメントをする必要がありました。これはすべての人に知られているわけではありません。セミコロンは、私はそれはRのコーディングスタイルとして推奨されていないと思うと思っ使用することができます

— アナリスト

1

@Glen_bはい、あなたは正しいです。しかし、これは述べられていません。素敵な観測ところで。

— mpiktas

1

相関の欠如が独立性を意味する唯一の一般的なケースは、XとYの共同分布がガウス分布である場合です。

— フレデリク・マイナーセン
ソース

2

これは単純な例を作成することで質問に直接答えません-その意味で、それはコメントのようなものです-しかし、それは可能な例の非常に幅広いセットを提案するという点で、間接的な答えを提供します。この投稿を元の質問にどのように答えるかを明確にするために、この投稿を言い換える価値があるかもしれません。

— シルバーフィッシュ

-1

2文の回答：無相関の統計的依存性の最も明確なケースは、RVの非線形関数、たとえばY = X ^ nです。2つのRVは明らかに依存していますが、相関関係はありません。相関関係は線形関係にあるためです。

— ジョン・ストロング
ソース

X

$X$

X

$X$

Y = X^{n}

$Y=X^n$

この答えは間違っています。R：式：{x <-runif（100）; COR（X、X ^ 3）}結果：0.9062057

— ジョシュ