ラプラス分布の前に共役が存在しますか？

ラプラス分布の共役事前分布はありますか？そうでない場合、ラプラス分布のパラメーターの事後を近似する既知の閉形式表現はありますか？

私は多くのことをグーグルで検索して成功しなかったので、現在の推測は上記の質問に「いいえ」です...

最初にそれらを1つずつ見ていきましょう（もう一方を与えられたとおりに取ります）。

リンクから（パラメーターにギリシャ語の記号を使用する規則に従うように変更して）：

$f(x|\mu,\tau) = \frac{1}{2\tau} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{\tau} \right) \,$

- スケールパラメーター：

$\cal{L}(\tau) \propto \tau^{-k-1} e^{-\frac{S}{\tau}} \,$

およびSの特定の値に対して。つまり、尤度は逆ガンマ形式です。$k$$S$

したがって、スケールパラメーターには共役事前分布があります。検査により、共役事前分布は逆ガンマになります。

- 位置パラメータ

$\sum_i|x_i-\mu|$$\mu$

均一な事前分布は、単純に事後を切り捨てます。これは、事前分布として妥当であると思われる場合には、それほど悪いことではありません。

時折役に立つかもしれない興味深い可能性の1つは、擬似観測を使用することにより、ラプラスの事前データ（データと同じスケールを持つもの）を含めるのがかなり簡単なことです。また、いくつかの疑似観測を介して、事前に他の（より厳密な）近似を行う場合もあります）

$\exp(-\sum_j |\mu-\theta_j|/\phi_j)$$\exp(-\sum_j w^*_j|\mu-\theta_j|)$

また、他の事前分布を近似するために使用できるほど十分に柔軟です。

（より一般的には、対数スケールで作業し、連続的で区分的に線形の対数凹を使用することができ、前も後もその形式になります。これには、特殊なケースとして非対称ラプラスが含まれます）

例

対処が非常に簡単であることを示すために、以下は加重ラプラスの位置パラメーターの事前（点線の灰色）、尤度（破線、黒）および事後（実線、赤）です（...これは既知のスケールでした）。

重み付きラプラスアプローチはMCMCでうまく機能すると思います。

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結果の事後モードは加重中央値であるのだろうか？

-実際には（自分の質問に答えるために）、それに対する答えは「はい」のように見えます。それで作業するのはかなり良いです。

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共同事前

$f(\mu,\tau)=f(\mu|\tau)f(\tau)$$\mu|\tau$$\tau$$\tau$$\tau$

ジョイントの事前のより一般的なことは間違いなく可能ですが、ここよりもジョイントケースを追求するつもりはありません。

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以前にこの重み付きラプラスのアプローチを目にしたことも聞いたこともありませんでしたが、考え出すのはかなり簡単だったので、おそらくすでに行われています。（誰かが知っているなら、参照は大歓迎です。）

誰も参照をまったく知らない場合は、おそらく何かを書く必要がありますが、それは驚くべきことです。