分布の尖度は密度関数の幾何学とどのように関連していますか？

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尖度は、分布のピークと平坦度を測定することです。分布の密度関数は、存在する場合、曲線と見なすことができ、その形状に関連する幾何学的特徴（曲率、凸性など）を持ちます。

それで、分布の尖度が密度関数の幾何学的特徴に関係しているかどうか疑問に思います。それは尖度の幾何学的意味を説明できますか？

kurtosis geometry

— ティム
ソース

私は、私の投稿で指摘した曖昧な意味だけでなく、密度曲線の幾何学的な量と式の関係を求めています。または、尖度が幾何学的な意味を持つ理由を説明するだけでも構いません

— ティム14

@Peterそれは真実とは程遠い。指定された（有限数の）モーメントを変更することなく、PDFのグラフのジオメトリをほぼ任意に変更できます。

— whuber

stats.stackexchange.com/questions/25010/…の密接に関連する質問は、この質問に対する正しい答えが何であるべきかを示唆しています。

— whuber

@whuber私はその例に同意し、感謝しますが、一般的な尖度についてよりも、pdfの特定のファミリーの注目すべき特性についてこれ以上述べていないのだろうかと思います。

— user603 14

@ user603それは疑問に思う良いことです。ただし、ステートメントはこの特定のファミリに関するものではありません。対数正規分布の場合、同じ瞬間に代替PDFのクラスの明示的な表現を生成できることが起こるだけです。すべてのモーメントが同じであることは特別ですが、ほとんどの分布を有限数のモーメントを修正する方法で摂動することは難しくありません。（ベルヌーイなどの特定の離散分布では困難ですが、PDFはありません。）

— whuber

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連続分布のモーメント、および尖度のような関数は、その密度関数のグラフについてほとんど説明しません。

たとえば、次のグラフを検討してください。

ここに画像の説明を入力してください

これらはそれぞれ、統合された非負の関数のグラフです。これらはすべてPDFです。さらに、それらはすべて同じ瞬間を持っています-それらの最後の無限の数。したがって、それらは共通の尖度を共有します（たまたまに等しくなります）。 $1$ $-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

これらの関数の式は次のとおりです。

f_{k 、 s} （ バツ ） = \frac{1}{\sqrt{2 π} バツ} \exp （ - \frac{1}{2} （ ログ （ バツ ） ）^{2} ） （ 1 + s 罪 （ 2 k π ログ （ バツ ） ）

$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$

以下のためおよび $x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$ $k\in\mathbb{Z}.$

この図では、左側に値が、上部に値が表示されています。左側の列は、標準対数正規分布のPDFを示しています。 $s$ $k$

Kendallの高度な統計理論（Stuart＆Ord、第5版）の演習6.21では、これらすべてに同じ瞬間があることを示すよう読者に求めています。

同様に、任意の pdfを修正して、根本的に異なる形状の別のpdfを作成できますが、同じ第2および第4の中心モーメント（たとえば）を持つため、同じ尖度になります。この例だけから、尖度が対称性、単峰性、二峰性、凸性、または曲線の他のよく知られた幾何学的特徴の容易に解釈可能または直観的な測定値ではないことを十分に明確にすべきです。

したがって、モーメントの関数（および特殊なケースとしての尖度）は、pdfのグラフの幾何学的特性を記述しません。これは直感的に理にかなっています：pdfは面積によって確率を表すため、確率密度をある場所から別の場所にほぼ自由にシフトでき、事前に指定された有限数のモーメントを固定しながら、pdfの外観を根本的に変更できます。

— ウーバー
ソース

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「この例だけから、それは非常に明確であるはずです...曲線の他のなじみのある幾何学的特性化。」私はあなたの言うことを理解していますが、ここでの解釈には合理的な相違の根拠があります。別の解釈は、対称分布から始まり、特定の点でいくつかの質量を動かすと尖度がどのように増減するかを示すダーリントンの解釈です（再び、あなたの例の矛盾ではなく、より「肯定的な」理解）。

— user603 14

1

@ user603私は同意しませんが、「ポジティブ」アプローチは、それがまったく機能しないために暗黙のうちに行われる非常に特別な仮定を見落としていると思います。また、歪度がゼロの非常に非対称なPDFのグラフから始めることもできます（構築するのは難しくありません）。したがって、その積極的なアプローチは、特定の非常に特殊なPDFが質量が動き回るときに何が起こるかを単に説明するものです。それは直観には非常に役立つ可能性がありますが、現在の質問に論理的な関係はないようです。

— whuber

1

歪度（および一般的な回答）に同意します。しかし、関数としての尖度には最小値があります。それは物事を少し面白くします。

— user603 14

1

@ user603ありがとう。それは洞察に富んだ区別です。現在の結論を重要な方法で変更するとは思わないが、確かに直観を助け、偶然と偶然の瞬間の重要な違いを指摘する。

— whuber

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対称分布（つまり、偶数の中心モーメントが意味のある分布）の場合、尖度は基礎となるpdfの幾何学的特徴を測定します。尖度が分布のピークに関連している（または一般的に関連している）ことは事実ではありません。むしろ、尖度は、基礎となる分布が対称および 双峰性であるかどうかを測定します（代数的に、完全に対称かつ双峰性の分布は尖度が1であり、尖度が持つことができる最小値です）[0]。

一言で言えば[1]、以下を定義する場合：

k = E (x - μ)^{4} / σ^{4}

$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$

、次いで $E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$

k = V (Z^{2}) + 1 \geq 1

$k=V(Z^2)+1\ge1$

用。 $Z=(X-\mu)/\sigma$

これは、が期待値1の周りのの分散の尺度とみなせることを意味します。言い換えると、分散と期待値の幾何学的解釈がある場合、尖度のそれよりも続きます。 $k$ $Z^2$

[0] RBダーリントン（1970）。尖度は本当に「ピーク」ですか？アメリカ統計学者、Vol。24、No。2。

[1] JJA Moors（1986）。尖度の意味：ダーリントン再検討。アメリカ統計学者、第40巻、第4号。

— user603
ソース

1

あなたが「二峰性」を書くどこでも、おそらく「単峰性」を意味しますか？

— whuber

1

はい、これらの例は対称分布に対して機能します。これらの（無限モーダル）PDFのいずれかを取る：明示的な一つは、擬似対数正規分布のファミリーから構成することができる

の平均値と

と、新しいPDFを定義し

少量の

を最小尖度分布と混合すると、尖度が最小値

arbitrarily意的に近い無限に多くのモードの分布があることがわかります。

f

$f$

μ

$\mu$

g (x) = (f (x) + f (2 μ - x)) / 2.

$g(x) = (f(x)+f(2\mu-x))/2.$

g

$g$

1

$1$ 。したがって、少なくとも尖度は、二峰性については何も言っていません。そうではないので、正確にはpdfのどの幾何学的特性を記述していますか？

— whuber

1

チャットでこの議論を続け

— whuber

1

尖度は、最小値に近い極端な場合を除き、二峰性を示すものではなく、2点等確率分布に似たものを示します。尖度のあらゆる可能な値を使用して、二峰性分布を作成できます。例については、ncbi.nlm.nih.gov / pmc / articles / PMC4321753を参照してください。

— ピーターウェストフォール

1

p

$p$

p

$p$

v \to 0

$v \rightarrow 0$

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[注：これは現場での別の質問に答えて書かれたものです。答えは現在の質問に統合されました。これが、この答えが異なる表現の質問に答えているように見える理由です。ただし、投稿の多くはここで関連する必要があります。]

尖度は、分布の形状を実際には測定しません。一部の分布ファミリ内では、おそらく形状を説明していると言うことができますが、より一般的には尖度は実際の形状についてひどく伝えません。形状は、尖度とは関係のないものを含む多くのものに影響されます。

尖度の画像検索を行うと、このようなかなりの数の画像が表示されます。

尖度を増加させるのではなく、変化する分散を示しているように見えます。比較のために、ここでは標準偏差が異なる（Rを使用して）描画した3つの標準密度を示します。

ここに画像の説明を入力してください

ご覧のとおり、前の図とほとんど同じに見えます。これらはすべてまったく同じ尖度を持っています。対照的に、ダイアグラムが目指していたものにおそらく近い例はここにあります

ここに画像の説明を入力してください

緑色の曲線は、よりピークがあり、テールがより重い（このディスプレイは、テールが実際にどれだけ重いかを見るのにはあまり適していませんが）。青い曲線はあまり尖っておらず、非常に明るい尾を持っています（実際、を超えると尾はまったくありません $\sqrt{6}$

これは通常、人々が密度の形状を示す尖度について話すときの意味です。ただし、尖度は微妙な場合があります。そのように動作する必要はありません。

たとえば、特定の分散では、尖度が低くなり、実際には尖度が低くなります。

また、過剰な尖度ゼロは正常性を意味するという誘惑に注意する必要があります（そして、かなりの数の本で公然と述べられています）。過剰尖度0の分布は、正規分布とは異なります。次に例を示します。

dgam 2.3

確かに、それは前のポイントも示しています。尖度が通常よりも高いが、中心はまだゼロで、ピークがまったくない類似した外観の分布を簡単に構築できました。

サイトには、尖度をさらに説明する多くの投稿があります。一例はこちらです。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

しかし、私はそれを言わなかった？本はそれを言う？

— 統計Tistician

そんなこと知ってる。あなたが言ったと言ったことはありません。あなたが尋ねる露骨に間違った発言に私が応答することをどのように提案しますか？間違っていないふりをするだけ？

— Glen_b-モニカを復活させる

1

@Glen_b写真は本のものではありません。この本はイラストを提供していません。これらのイラストには、グーグルの画像検索を使用しました。

— 統計Tistician

2

一部の著者は尖度として尖度を記述し、尾の重さとして尖度を記述しますが、尖度が尖度であるという懐疑的な解釈は唯一の完全に安全な話です。Irving Kaplansky（1945）によって与えられた数値例だけで、尖度が明確に解釈されないことを示すのに十分です。（Kaplanskyの論文は、1940年代半ばに確率と統計について書いた数少ない論文の1つです。彼は著名な代数論者として知られています。）stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0204

— ニックコックス

1

尖度は尖端であると主張する本や論文があるので、最初の条項は正しいままであり、文献の内容に関する説明としても支持できます。さらに重要なのは、カプランスキーの例と議論をどう考えるかです。

— ニックコックス

3

$\mu \pm \sigma$

編集11/23/2018：この投稿を書いて以来、尖度に関するいくつかの幾何学的な視点を開発しました。1つは、過剰な尖度が実際に通常の分位点-分位点プロットの尾部にある予想される45度線からの偏差に関して幾何学的に視覚化できることです。参照このQQプロットは急尖またはplatykurtic分布を示してんの？

$p_V(v)$ $V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$ $X$ $E(V)$ $V$ $X$

$\mu \pm \sigma$ $X$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$ $X$ $\le 0.25$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$

— ピーター・ウェストフォール
ソース

3

あなたのほとんどの投稿で人々に論文を紹介し続けるのではなく、ここで議論を要約してください。「リンクのコンテキストを常に提供する」、特に「重要な部分を常に引用する」と記載されている場合は、こちらのヘルプを参照してください。引数が広範囲にわたる場合、必ずしも文字通り引用する必要はありませんが、少なくとも引数の要約が必要です。抜本的なステートメントをいくつか作成し、論文にリンクするだけです。尖度という声明対策の尾の行動は（不在コンテキスト）である（明らかにそう）誤解を招く

— Glen_b -Reinstateモニカ

2

...しかし、ここで提示していない議論に反対することは不可能であり、おそらくより微妙な結論に到達します。

— Glen_b -Reinstateモニカ

私の議論はここに明確にレイアウトされています：en.wikipedia.org/wiki/… コメントを歓迎します！ところで、尖度はIS尾の重量、検討されている他の人のように全く同じではないの尺度。E（Z ^ 4）を介してテールウェイトを測定します。これは、値| Z | <1があまり寄与しないため、テールウェイトの測定値です。同じ論理により、E（Z ^ n）はより高い偶数のnに対してもテールウェイトの測定値です。

— ピーターウェストフォール

こんにちはPeter、stats.stackexchange.com / help / merging-accountsにアクセスしてアカウントをマージし、古い投稿を変更できるようにしてください。

— whuber

3

別の種類の回答：http ://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm からのアイデアを使用して、尖度を幾何学的に説明できます：グラフィカルな瞬間。

k = E {（ \frac{バツ - μ}{σ} ）}^{4} = \int （ \frac{バツ - μ}{σ} ）^{4} f （ バツ ） d バツ

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int (\frac{x-\mu}{\sigma})^4 f(x) \; dx$ どこ

f

$f$ の密度です

X

$X$ 、

μ, σ^{2}

$\mu, \sigma^2$ それぞれ期待値と分散。積分記号の下の非負関数は尖度に統合され、周囲から尖度への寄与を与えます

x

$x$ 。尖度密度と呼ぶことができ、プロットすると尖度がグラフィカルに表示されます。（この投稿では、過剰な尖度を使用していないことに注意してください

k_{e} = k - 3

$k_e=k-3$ まったく）。

以下では、すべてがゼロを中心とし、分散が1になるようにスケーリングされた対称分布のグラフ尖度のプロットを示します。

尖度への寄与が中心から事実上ないことに注意してください。尖度は「ピーク」とはあまり関係がないことを示しています。

— kjetil b halvorsen
ソース

1

その通りです。-1〜+1の曲線の下の領域は、すべての分布で0〜1であり、密度が

Z^{2}

$Z^2$ [0,1]の範囲で減少しています。これらの2つの定理は、私の論文ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753で証明されています。そこで証明された第3の定理は、尖度が無限大になりやすい分布のシーケンスに対して、

- b

$-b$ に

+ b

$+b$ 尖度がゼロになる傾向があります。

b

$b$ 。

— ピーターウェストフォール