計算していると主張しているExcelシートを見ていますが、この方法を認識していないため、何か不足しているのではないかと思っていました。$\chi^2$

これが分析しているデータです：

+------------------+----------+----------+
| Total Population | Observed | Expected |
+------------------+----------+----------+
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       25 | 32.5     |
|             2000 |       21 | 32.5     |
+------------------+----------+----------+

そして、これはカイ二乗を計算するために各グループに対して行う合計です：

P = (sum of all observed)/(sum of total population) = 0.01625
A = (Observed - (Population * P)) ^2
B = Total Population * P * (1-P)
ChiSq = A/B

したがって、各グループのは次のとおりです。$\chi^2$

2.822793
2.822793
1.759359
4.136448

そして、総カイ広場は次のとおり11.54139です。

ただし、を計算するすべての例は、これとはまったく異なります。私は各グループに対して行います：$\chi^2$

chiSq = (Observed-Expected)^2 / Expected

したがって、上記の例の場合、合計カイ二乗値はになり11.3538ます。

私の質問は-なぜExcelシートでをこのように計算しているのですか？これは認められたアプローチですか？$\chi^2$

更新

これを知りたいのは、これらの結果をR言語で再現しようとしているためです。私はchisq.test関数を使用していますが、Excelシートと同じ番号で出力されません。したがって、Rでこのアプローチを行う方法を知っている人がいると、非常に役立ちます。

アップデート2

誰かが興味を持っているなら、ここに私がRでそれを計算した方法があります：

res <- matrix(c((2000-42), 42, (2000-42), 42, (2000-25), 25, (2000-21), 21), 2, 4)
chisq.test(res)

これは非常に簡単です。

これは明らかに二項サンプリングです。それを見るには2つの方法があります。

方法1、スプレッドシートの方法、観測されたカウントをとして処理します。これはとして近似できます。したがって、はほぼ標準の法線であり、は独立しているため、（ほぼ）ます。$X_i$$\sim \text{Bin}(N_i,p_i)$$\text{N}(\mu_i=N_i\cdot p_i,\sigma_i^2=N_i\cdot p_i(1-p_i))$$Z_i=(X_i-\mu_i)/\sigma_i$$Z$$\sum_i Z_i^2\sim \chi^2$

（pが観測されたカウントに基づいている場合、は独立ではありませんが、それでも自由度が1つ少ないカイ二乗です。）$Z$

方法2：形式のカイ二乗を使用することもできますが、「監視」とラベル付けしたカテゴリ内のものだけでなく、そのカテゴリ内にもないものも考慮する必要があります。$(O-E)^2/E$

+------------+------+-------+
| Population | In A | Not A |
+------------+------+-------+
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   25 |  1975 |
|       2000 |   21 |  1979 |
+ -----------+------+-------+

最初の列のどこにあるか、2列目のは$E$$N_i(1-p_i)$

...次に、両方の列のを合計します。$(O-E)^2/E$

2つの形式は代数的に同等です。ことに注意してください 。カイ2乗のi行を考えます。$1/p + 1/(1-p) = 1/p(1-p)$$^{th}$

$$\begin{eqnarray} \frac{(X_i - \mu_i)^2}{\sigma_i^2} &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-N_i+N_ip_i-X_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-X_i-(N_i-N_ip_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{((N_i-X_i)-N_i(1-p_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(O^{(A)}_i- E^{(A)}_i)^2}{E^{(A)}_i} +\frac{(O^{(\bar A)}_i-E^{(\bar A)}_i)^2}{E^{(\bar A)}_i} \end{eqnarray}$$

つまり、丸め誤差まで、両方の方法で同じ答えを得る必要があります。

どれどれ：

             Observed             Expected                 (O-E)^2/E          
  Ni        A     not A          A      not A             A           not A      
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     25         1975      32.5     1967.5       1.730769231     0.028589581     
 2000     21         1979      32.5     1967.5       4.069230769     0.067217281     

                                            Sum     11.35384615      0.187547649  

カイ二乗= 11.353846 + 0.187548 = 11.54139

彼らの答えと一致します。