無限分散の正規分布の値がその平均よりも大きい確率はどのくらいですか？

今日のインタビューでこれに似たものを尋ねられました。

インタビュアーは、ボラティリティが無限になりやすい場合に、アットザマネーオプションがインザマネーになる可能性を知りたいと考えました。

ブラックショールズモデルとランダムウォーク仮説の基礎となる正規分布には無限の分散があるため、0％と言いました。そして、すべての値の確率はゼロになると考えました。

私のインタビュアーは、正規分布はまだ対称でほぼ均一なので、正しい答えは50％であると言いました。したがって、平均値から+∞まで積分すると、50％になります。

私はまだ彼の推論に納得していない。

誰が正しい？

推論の形式は数学的に厳密ではありません-無限分散の正規分布のようなものはありませんし、分散が大きくなるにつれて制限的な分布もありません-だから少し注意しましょう。

ブラックショールズモデルでは、原資産の対数価格はランダムウォークを受けていると想定されます。この問題は、「有効期限の資産の（ログ）値が現在の（ログ）値を超える可能性はどれくらいですか？」ボラティリティを無制限に増加させることは、有効期限を無制限に増加させることと同等です。したがって、答えは、「として、時間tでのランダムウォークの値は時間0での値よりも大きいという制限は何ですか？」対称性（アップティックとダウンティックの交換）により（および連続モデルではお金になる可能性が0であることに注意して）、これらの確率は1 $t \to \infty$$t$$0$$0$t > 0の場合は 2で、その限界は実際に存在し、 1 / 2に等しくなります。$1/2$$t \gt 0$$1/2$

正規確率変数のシーケンスを検討平均値でμとSD σ nと。$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

基本的にあなたのインタビュアーは求めています、我々は知っている与えられた σ N →を∞。$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

明らかに我々が見るから独立したσnは私たちに答えを与えます、。$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

直観的には、無限分散正規分布を考える代わりに、有限分散分布を想像して、その限界で作業する必要があります。

正規分布ではなく、対数正規分布に基づいて分析を行う必要があります。面接者は、分布が対称的であると述べたときに間違っています。分散に関係なく、そうなることはありません。また、ボラティリティと無限分散と呼ぶものを区別する必要があります。たとえば、株価には上限がないため、「無限分散」があります。