Cox Regressionにはポアソン分布がありますか？

私たちの小さなチームは議論をしていて行き詰まってしまいました。Cox回帰に基本的なポアソン分布があるかどうかは誰にもわかりますか。リスクが一定のCox回帰は、ロバストな分散を伴うポアソン回帰と類似する可能性があるという議論がありました。何か案は？

はい、これら2つの回帰モデルの間にはリンクがあります。以下に図を示します。

ベースラインハザードが時間とともに一定であると仮定します：。その場合、生存関数は$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

そして密度関数は

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

これは、期待値を持つ指数確率変数の確率密度関数です。$\lambda^{-1}$

このような構成により、次のパラメトリックCoxモデルが生成されます（明確な表記）。

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

パラメトリック設定では、パラメーターは古典的尤度法を使用して推定されます。対数尤度は

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

ここで、はイベントインジケータです。$d_{i}$

加算定数までは、これは平均ポアソン変数の実現として見られるの対数尤度と同じ表現にすぎません。$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

結果として、次のポアソンモデルを使用して推定値を取得できます。

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

ここで、。$\beta_0 = \log(\lambda)$