2サンプルの指数分布の尤度比

ましょとそれぞれのpdfファイル持つ2つの独立した確率変数であります： $X$ $Y$

f (x; θ_{i}) = {\begin{cases} \frac{1}{θ_{i}} e^{- x / θ_{i}} 0 < x < \infty, 0 < θ_{i} < \infty \\ 0 elsewhere \end{cases}

$f \left(x;\theta_i \right) =\begin{cases} \frac{1}{\theta_i} e^{-x/ {\theta_i}} \quad 0<x<\infty, 0<\theta_i< \infty \\ 0 \quad \text{elsewhere} \end{cases}$

ため。をテストするために、2つの独立したサンプルが描画されます。これらの分布から、サイズがおよびがに対してです。は、下で分布を持つ統計量の関数として記述できることを示す必要があります。 $i=1,2$ $H_0: \theta_1 =\theta_2$ $H_1 : \theta_1 \neq \theta_2$ $n_1$ $n_2$ $\Lambda$ $F$ $H_0$

この分布のmleはであるため、LRT統計は次のようになります（ここではいくつかの面倒な手順を省略しています）。 $\hat{\theta}=\bar{x}$

Λ = \frac{{\bar{x}}^{n_{1}} {\bar{y}}^{n_{2}} (n_{1} + n_{2})}{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}}

$\Lambda =\frac{\bar{x}^{n_1} \bar{y}^{n_2} \left( n_1+n_2 \right)}{n_1 \bar{x}+n_2 \bar{y}}$

私は、分布が2つの独立したカイ2乗確率変数の商として定義されていることを知っています。さらに、がnull、および。 $F$ $X_i,Y_i \sim \Gamma \left( 1,\theta_1 \right)$ $\sum X_i \sim \Gamma \left(n_1 ,\theta_1 \right)$ $\sum Y_i \sim \Gamma \left(n_2, \theta_1 \right)$

しかし、どうすればここから先に進むことができますか？ヒントはありますか？

ありがとうございました。

distributions self-study likelihood-ratio

— ジョンK
ソース

ヒント：指数確率変数が線形に関連して

2自由度、ひいてはとランダム変数

オーダーパラメーターを有するランダム変数

直線的に関係して

ランダム変数

自由度。

χ^{2}

$\chi^2$

Γ

$\Gamma$

n

$n$

χ^{2}

$\chi^2$

2 n

$2n$

— Dilip Sarwate、2014年

@DilipSarwate

ことがわかります

。続けて、それに従って私の分数を再定式化する必要がありますか？

Z = \frac{2}{θ_{1}} \sum X_{i} \sim χ^{2} (2 n_{1})

$Z= \frac {2}{\theta_1} \sum X_i \sim \chi^2 \left(2n_1 \right)$

— JohnK、2014年

たぶん、あなたはする必要はありませんいくつかの面倒な手順をスキップして、実際の代わりに最尤にジャンプの最初から尤度比導き出す推定を。 これは程度問題であるという仮説をテストする unknowmパラメータの最尤推定ではありません

。

θ_{i}

$\theta_i$

— Dilip Sarwate、2014年

@DilipSarwateあなたは誤解しました。これらの中間ステップを書き留めましたが、ここでは示していません。これは、単純化した後に得られるものです。

— JohnK 2014年

おそらく、LRTのTの意味を私（ちなみに統計家ではない）に説明することから始めることができます。

— Dilip Sarwate、2014年

回答:

メモリが機能する場合、LR統計に何かを忘れているようです。

ヌルでの尤度関数は

L_{H_{0}} = θ^{- n_{1} - n_{2}} \cdot \exp {- θ^{- 1} (\sum x_{i} + \sum y_{i})}

$L_{H_0} = \theta^{-n_1-n_2}\cdot \exp\left\{-\theta^{-1}\left(\sum x_i+\sum y_i\right)\right\}$

そしてMLEは

{\hat{θ}}_{0} = \frac{\sum x_{i} + \sum y_{i}}{n_{1} + n_{2}} = w_{1} \bar{x} + w_{2} \bar{y}, w_{1} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}, w_{2} = \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}}

$\hat \theta_0 = \frac {\sum x_i+\sum y_i}{n_1+n_2} = w_1\bar x +w_2 \bar y, \;\; w_1=\frac {n_1}{n_1+n_2},\;w_2=\frac {n_2}{n_1+n_2}$

そう

L_{H_{0}} ({\hat{θ}}_{0}) = ({\hat{θ}}_{0})^{- n_{1} - n_{2}} \cdot e^{- n_{1} - n_{2}}

$L_{H_0}(\hat \theta_0) = (\hat \theta_0)^{-n_1-n_2}\cdot e^{-n_1-n_2}$

代替案では、可能性は

L_{H_{1}} = θ_{1}^{- ん_{1}} \cdot \exp {- θ_{1}^{- 1} （ Σ {バツ}_{私} ）} \cdot θ_{2}^{- ん_{2}} \cdot \exp {- θ_{2}^{- 1} （ Σ y_{私} ）}

$L_{H_1} = \theta_1^{-n_1}\cdot \exp\left\{-\theta_1^{-1}\left(\sum x_i\right)\right\}\cdot \theta_2^{-n_2}\cdot \exp\left\{-\theta_2^{-1}\left(\sum y_i\right)\right\}$

MLEは

{\hat{θ}}_{1} = \frac{Σ {バツ}_{私}}{ん_{1}} = \bar{バツ} 、 {\hat{θ}}_{2} = \frac{Σ y_{私}}{ん_{2}} = \bar{y}

$\hat \theta_1 = \frac {\sum x_i}{n_1} = \bar x, \qquad \hat \theta_2 = \frac {\sum y_i}{n_2} = \bar y$

したがって、

L_{H_{1}} （ {\hat{θ}}_{1} 、 {\hat{θ}}_{2} ） = （ {\hat{θ}}_{1} ）^{- ん_{1}} （ {\hat{θ}}_{2} ）^{- ん_{2}} \cdot e^{- ん_{1} - ん_{2}}

$L_{H_1}(\hat \theta_1,\,\hat \theta_2) = (\hat \theta_1)^{-n_1}(\hat \theta_2)^{-n_2}\cdot e^{-n_1-n_2}$

比率を考慮する

\frac{L_{H_{1}} （ {\hat{θ}}_{1} 、 {\hat{θ}}_{2} ）}{L_{H_{0}} （ {\hat{θ}}_{0} ）} = \frac{（ {\hat{θ}}_{0} ）^{ん_{1} + ん_{2}}}{（ {\hat{θ}}_{1} ）^{ん_{1}} （ {\hat{θ}}_{2} ）^{ん_{2}}} = {（ \frac{{\hat{θ}}_{0}}{{\hat{θ}}_{1}} ）}^{ん_{1}} \cdot {（ \frac{{\hat{θ}}_{0}}{{\hat{θ}}_{2}} ）}^{ん_{2}}

$\frac {L_{H_1}(\hat \theta_1,\,\hat \theta_2)}{L_{H_0}(\hat \theta_0)} = \frac {(\hat \theta_0)^{n_1+n_2}}{(\hat \theta_1)^{n_1}(\hat \theta_2)^{n_2}}=\left(\frac {\hat \theta_0}{\hat \theta_1}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac {\hat \theta_0}{\hat \theta_2}\right)^{n_2}$

= {（ w_{1} + w_{2} \frac{\bar{y}}{\bar{バツ}} ）}^{ん_{1}} \cdot {（ w_{1} \frac{\bar{バツ}}{\bar{y}} + w_{2} ）}^{ん_{2}}

$= \left(w_1 + w_2 \frac {\bar y}{\bar x}\right)^{n_1} \cdot \left(w_1\frac {\bar x}{\bar y} + w_2 \right)^{n_2}$

サンプルの手段は独立しています-したがって、これでこれを完了できると思います。

— アレコスパパドプロス
ソース

それほど重要ではありませんが、LRTを使用した分数の逆数として定義する必要があると思います。stats.ox.ac.uk/~dlunn/b8_02/b8pdf_8.pdfを参照してください。

— JohnK、2014年

代数的操作に役立つため、逆数が使用されました。この部分が完了すると、外部のパワーのネガティブを取ります。

— Alecos Papadopoulos 2014

よし。分数がF分布に従うことを示すために、それをと書くだけで十分でしょ？

\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}

$\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}$

\frac{\frac{2 \sum X_{i}}{2 θ_{1} n_{1}}}{\frac{2 \sum Y_{i}}{2 θ_{1} n_{2}}}

$\frac{\frac{2\sum X_i}{2 \theta_1 n_1}}{\frac{2\sum Y_i}{2 \theta_1 n_2 }}$

— JohnK、2014年

それがガンマとカイ二乗の間の正しい「リンク」である場合は、確かに。

— Alecos Papadopoulos 2014

はい、そして、自由度で除算する必要もあります。どうもありがとうございました。

\frac{2}{θ_{1}} \sum X_{i} \sim χ^{2} (2 n_{1})

$\frac{2}{\theta_1} \sum X_i \sim \chi^2 \left( 2n_1 \right)$

2 n_{1}

$2n_1$

— JohnK、2014年

サンプルが与えられた尤度関数は、 $\mathbf x=(x_1,\ldots,x_{n_1},y_1,\ldots,y_{n_2})$

\begin{aligned} L (θ_{1}, θ_{2}) & = \frac{1}{θ_{1}^{n_{1}} θ_{2}^{n_{2}}} \exp [- \frac{1}{θ_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} x_{i} - \frac{1}{θ_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} y_{i}] 1_{x > 0}, θ_{1}, θ_{2} > 0 \end{aligned}

$\begin{align} L(\theta_1,\theta_2)&=\frac{1}{\theta_1^{n_1}\theta_2^{n_2}}\exp\left[-\frac{1}{\theta_1}\sum_{i=1}^{n_1} x_i-\frac{1}{\theta_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_i\right]\mathbf1_{\mathbf x>0}\quad,\,\theta_1,\theta_2>0 \end{align}$

をに対してテストするためのLRテスト基準は、次の形式です。 $H_0:\theta_1=\theta_2$ $H_1:\theta_1\ne \theta_2$

\begin{aligned} λ (x) & = \frac{sup_{θ_{1} = θ_{2}} L (θ_{1}, θ_{2})}{sup_{θ_{1}, θ_{2}} L (θ_{1}, θ_{2})} = \frac{L (\hat{θ}, \hat{θ})}{L ({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \lambda(\mathbf x)&=\frac{\sup\limits_{\theta_1=\theta_2}L(\theta_1,\theta_2)}{\sup\limits_{\theta_1,\theta_2}L(\theta_1,\theta_2)} =\frac{L(\hat\theta,\hat\theta)}{L(\hat\theta_1,\hat\theta_2)} \end{align}$

ここで、のMLEである（下）、および無制限のMLEであるため。 $\hat\theta$ $\theta_1=\theta_2$ $H_0$ $\hat\theta_i$ $\theta_i$ $i=1,2$

ことは簡単に確認できます

({\hat{θ}}_{1}, {\hat{θ}}_{2}) = (\bar{x}, \bar{y})

$(\hat\theta_1,\hat\theta_2)=(\bar x,\bar y)$

および

\hat{θ} = \frac{n_{1} \bar{x} + n_{2} \bar{y}}{n_{1} + n_{2}}

$\hat\theta=\frac{n_1\bar x+n_2\bar y}{n_1+n_2}$

いくつかの単純化の後、LRT基準に対してこの対称性が得られます。

\begin{aligned} λ （ バツ ） & = \underset{> 0}{\underset{⏟}{絶え間ない}} {（ \frac{ん_{1} \bar{バツ}}{ん_{1} \bar{バツ} + ん_{2} \bar{y}} ）}^{ん_{1}} {（ \frac{ん_{2} \bar{y}}{ん_{1} \bar{バツ} + ん_{2} \bar{y}} ）}^{ん_{2}} \\ = 絶え間ない \cdot t^{ん_{1}} （ 1 - t_{1} ）^{ん_{2}} 、 どこ t = \frac{ん_{1} \bar{バツ}}{ん_{1} \bar{バツ} + ん_{2} \bar{y}} \\ = g （ t ） 、 いう \end{aligned}

$\begin{align} \lambda(\mathbf x)&=\underbrace{\text{constant}}_{>0}\left(\frac{n_1\bar x}{n_1\bar x+n_2\bar y}\right)^{n_1}\left(\frac{n_2\bar y}{n_1\bar x+n_2\bar y}\right)^{n_2} \\&=\text{constant}\cdot\,t^{n_1}(1-t_1)^{n_2}\qquad,\text{ where }t=\frac{n_1\bar x}{n_1\bar x+n_2\bar y} \\&=g(t)\quad,\,\text{say} \end{align}$

関数性質を調べると、 $g$

g^{』} （ t ） ≷ 0 ⟺ t ≶ \frac{ん_{1}}{ん_{1} + ん_{2}}

$g'(t)\gtrless 0\iff t\lessgtr \frac{n_1}{n_1+n_2}$

今のでと独立して分布している、我々は $2n_1\overline X/\theta_1\sim \chi^2_{2n_1}$ $2n_2\overline Y/\theta_2\sim \chi^2_{2n_2}$

\frac{\bar{バツ}}{\bar{Y}} \overset{H_{0}}{〜} F_{2 ん_{1} 、 2 ん_{2}}

$\frac{\overline X}{\overline Y}\stackrel{H_0}{\sim}F_{2n_1,2n_2}$

定義し

v = \frac{ん_{1} \bar{バツ}}{ん_{2} \bar{y}}

$v=\frac{n_1\overline x}{n_2\overline y}$

、つまり

t = \frac{v}{v + 1} ↑ v

$t=\frac{v}{v+1}\quad\uparrow\, v$

したがって、

λ （ バツ ） < c ⟺ v < c_{1} または v > c_{2}

$\lambda(\mathbf x)<c \iff v<c_1\quad\text{ or }\quad v>c_2$

ここで、はいくつかのサイズ制限と、下でという事実から見つけることができます $c_1,c_2$ $H_0$

\frac{ん_{2}}{ん_{1}} v 〜 F_{2 ん_{1} 、 2 ん_{2}}

$\frac{n_2}{n_1}v\sim F_{2n_1,2n_2}$

— 頑固な原子
ソース