ベバリッジネルソン分解の説明

誰かがBeveridge-Nelson分解の仕組みを説明できますか？これまでのところ、私が知っているのは、非定常時系列データのトレンドサイクルを推定することだけです。

私は複数のジャーナルの記事を見ましたが、それがどのように機能するのかまだ混乱しています http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

Beveridge-Nelson分解は、プロセスの分解です。このようなプロセスにはユニットルートがあります。$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

しかし、はホワイトノイズプロセスではなく、プロセスです。BeveridgeとNelsonが最初の記事で観察したのは、このプロセスを2つの部分に分解できることです。 A R M A （p 、q $u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

ここで、は「純粋な」ランダムウォークです。つまり、。ここで、はホワイトノイズプロセスです。という用語は、別の定常プロセスです。この分解は代数的同一性（以下の詳細）ですが、興味深い解釈につながる可能性があります。τ T = τ T - 1 + ε T ε T ξ $\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

正確なステートメント。ましょう、ホワイトノイズプロセスであり、。その後 ε T Σ J | ψ J | < $u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

どこ

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

この分解は、例えば素晴らしいアプリケーションを持っています

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

ここで、最初の項に中心極限定理を適用し、定常性により2番目の項がゼロになることを観察します（平均はゼロであり、分母のTにより項の分散はゼロになります）。

したがって、ARIMA（p、1、q）プロセスの制限動作はARIMA（0,1,0）プロセスの場合と同じです。この事実は時系列の文献で多く使用されています。たとえば、フィリップスとペロンのユニットルートテストはそれに基づいています。