2つのマイナスの主効果とプラスの相互作用効果？

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V1とV2の2つの主な効果があります。応答変数に対するV1とV2の影響は負です。しかし、何らかの理由で、相互作用項V1 * V2に対して正の係数を取得しています。どうすればこれを解釈できますか？そのような状況は可能ですか？

regression interaction

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絶対に。これは、V2のレベル全体でのV1の逆推定効果の減少（またはその逆）と解釈できます。つまり、V1の逆効果は、V2のより高い観測値では逆ではありません。検証するためにすべてをプロットする必要があります。

— DLダーリー

主な効果係数は、点V1 = V2 = 0でのV1およびV2方向の応答曲面の勾配です。モデルに切片が含まれている場合は、V1およびV2を中心に配置してください（つまり、それらの平均を差し引きます）。相互作用は、中心にあるV1とV2の積です。個別に中央揃えされておらず、その係数は変更されません。

— レイクープマン

私はあなたがわずかに異なる問題であると信じていますが、シンプソンのパラドックスの興味深いを見つけることがあります。en.wikipedia.org/wiki/Simpson's_paradox

— デヴィッド・マルクス

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もちろん。簡単な例として、正しい温度で始まる水槽に一定量の温水（V1）と冷水（V2）を追加する実験を考えてみましょう。応答変数（V3）は、1日後に生き残る魚の数です。直感的に、お湯だけを追加すると（V1が増加）、大量の魚が死にます（V3が低下します）。冷水のみを追加すると（V2が増加）、大量の魚が死にます（V3が低下します）。しかし、温水と冷水の両方を追加すると（V1とV2が増加するため、V1 * V2が増加します）、魚は元気になります（V3は高いままです）。

以下では、上記の状況を模倣して18のデータポイントを作成し、Rの多重線形回帰に適合させて、出力を含めました。最後の行に、2つのマイナスの主効果とプラスの相互作用を見ることができます。V1 =温水のリットル、V2 =冷水のリットル、V3 = 1日後に生きている魚の数を許可できます。

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3~V1+V2+V1:V2, data=A))


Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563

— アンダーマイナー
ソース

8

賢い例。

— DLダーリー

5

@underminerのすばらしい例の状況を見る別の方法は、最小二乗回帰の下で、近似値が「相関制約」を満たすことに注意することです。

\sum_{i = 1}^{n} x_{i k} {\hat{y}}_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i k} y_{i}

$\sum_{ i=1}^nx_{ik}\hat{y}_i=\sum_{ i=1}^nx_{ik}y_i$

ここで、はi番目の観測値のk番目（独立/説明/予測/等）変数の値です。右側は、モデル内の他の変数に依存しないことに注意してください。したがって、「y」が一般にk番目の変数で増加/減少する場合、近似値も増加します。これは、主効果のみが存在する場合はベータ版を通して簡単に確認できますが、相互作用が存在する場合は混乱します。 $x_{ik}$

相互作用は一般に、ベータの典型的な解釈を「他のすべての変数を一定に保ったまま、その変数を1単位だけ増やすことによる応答への影響」として「破滅」させることに注意してください。相互作用が存在する場合、これは無意味な解釈です。単一の変数を変化させると、相互作用項の値と主効果が変化することがわかっています。あなたの例で与えられた最も単純なケースでは、を1つずつ変更すると、近似値が次のように変更されます。 $V1$

β_{1} + V 2 β_{1 * 2}

$\beta_1 + V2\beta_{1*2}$

明らかにを見るだけでは、応答に対する適切な「効果」が得られません。 $\beta_1$ $V1$

— 確率論
ソース