混合モデルのアイデアとベイズ法

混合モデルでは、変量効果（パラメーター）は正規分布に従う確率変数であると想定します。これは、すべてのパラメータがランダムであると見なされるベイズ法に非常に似ています。

では、変量効果モデルはベイジアン法の特殊なケースですか？

これは良い質問です。厳密に言うと、混合モデルを使用してもベイジアンにはなりません。各変量効果を個別に推定し（それを固定効果として扱い）、結果の分布を確認することを想像してください。これは「ダーティ」ですが、概念的には、相対頻度の概念に基づいて、ランダムな効果に対する確率分布があります。

$$f(\beta_i | \mathbf{y}_i) \propto f(\mathbf{y}_i | \beta_i) g(\beta_i).$$ $g()$

真のベイジアンになるには、変量効果の分布を指定するだけでなく、その分布を定義する各パラメーターの分布（事前）、およびすべての固定効果パラメーターとモデルイプシロンの分布を指定する必要があります。かなり激しい！

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ $$\begin{pmatrix} y_{i1} \\ \vdots \\ y_{iJ} \end{pmatrix} \sim_{\text{iid}} {\cal N}\left(\begin{pmatrix} \mu \\ \vdots \\ \mu \end{pmatrix}, \Sigma\right), \quad i=1,\ldots,I$$ $\Sigma$$\sigma^2_b+\sigma^2_w$$\sigma^2_b$$\mu$$\Sigma$

同じ答えを再現するという点で話している場合、答えはイエスです。ベイズGLMMのINLA（google "inla bayesian"）計算方法は、固定効果と分散パラメーターの均一事前分布と組み合わせて、基本的に、分散パラメーターが推定される「単純なプラグイン」ガウス近似の下でEBLUP / EBLUE出力を再現します。 REML経由。

私はそうは思わない、私はそれを尤度関数の一部と考えます。これは、回帰モデルで正規分布に従うエラー項を指定するのと同じです。または、GLMのロジスティック関係を使用して特定のバイナリプロセスをモデル化できます。

以前の情報や分布は使用されていないため、ベイジアンとは見なしません。