T分布確率変数の二乗和の分布

T分布確率変数の二乗和の分布と、テール指数調べています。Xがrvである場合、フーリエ変換であるは、畳み込み前の正方形の解を与えます。 $\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

で、溶液をフーリエ逆変換を行うと逆することができるが、扱いにくいと不可能である。したがって、問題は、標本分散の分布またはT分布確率変数の標準偏差で作業が行われたかどうかです。（Gaussianのカイ二乗とは、StudentTにとってのものです）。ありがとうございました。F（t ）$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

（考えられる解決策）はフィッシャー分布であるため、フィッシャー分布変数の合計を確認します。 F （1 、α $X^2$$F(1,\alpha)$

（可能な解決策）特性関数から、合計された平均 は、分布の最初の2つのモーメントが存在する場合、それらのモーメントは同じです。したがって、uを平方根とし、確率分布内で変数を変更すると、n個のサンプルのT変数の標準偏差の密度は、次のように近似できます X 2 F （N 、α ）G （U ）= 2 α α / 2 N N / 2 UはN - 1 （ α + N U 2 ） - $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

あなたの質問の明確化（私には2つの関連しているが異なる部分があるようです）：あなたは（1）独立した二乗確率変数の合計の分布、および（2）サンプリングを探しています分布から抽出されたランダムサンプルの分散（または関連する標準偏差）の分布（おそらく（1）について尋ねる理由）。T αトン$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

独立二乗変数の合計の分布$t_{\alpha }$

もし（独立した）ランダムでの変数が DF、それが偽である（これは2番目の「可能な解決策」で主張しているように見えます）。これは、それぞれの最初の瞬間を考慮することで簡単に検証できます（後者の最初の瞬間は最初の瞬間の倍です）。 $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

最初の「可能な解決策」の主張は正しいです：。特性関数に頼るのではなく、比率分布としての分布の特徴付けを検討するとき、この結果はより透明であると思いますここで、は標準正規変数です。そして有するカイ自乗変数であるの独立した自由度、。この比率の2乗は、2つの独立したカイ2乗変数の比率であり、それぞれの自由度でスケーリングされます。つまり、$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$これは、分布の標準的な特性です（分子dfは1に等しく、分母dfは等しい）。$F(1,\alpha)$$\alpha$

上記の最初の段落の最初の瞬間に書いたメモを考えると、より良い主張は [I haveここでは、分布に同じ式を使用し、その分布を持つ確率変数を使用して、表記を少し乱用しています。]。最初のモーメントは一致しますが、2番目の中心モーメントは一致しません（の場合、最初の式の分散は、後者の式の分散よりも小さくなります）。したがって、この主張も誤りです。[とはいえ、であることを観察するのは興味深いことです。これは、2乗（標準）を合計したときに期待される結果です。通常の変量。]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

分布からサンプリングするときの分散のサンプリング分布$t_{\alpha }$

上で書いたことを考えると、「n個のサンプルのT変数の標準偏差の密度」に対して得られる式は正しくありません。ただし、が正しい分布であったとしても、標準偏差は二乗和の平方根ではありません（密度に到達するために使用していたようです）。代わりに、の（スケーリングされた）サンプリング分布を探し。通常の場合、この式のLHSは、2乗された正規変数の合計として書き直すことができます（2乗内の項は、正規分布の正規結合の線形結合として書き直すことができます）。おなじみ$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$トン$\chi^2$分布。残念ながら、変数の線形結合（自由度が同じであっても）はとして分布されないため、同様のアプローチは利用できません。$t$$t$

おそらく、何を実証したいのかを再考する必要がありますか？たとえば、いくつかのシミュレーションを使用して目的を達成できる可能性があります。ただし、した例を示しています。これは、の最初のモーメントのみが有限であるため、シミュレーションはそのようなモーメントの計算に役立ちません。 F （1 、α $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

HotellingのT分布（http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution）を確認してください。がディストリビューション（http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties）であるという関係がありますが、これがまさにあなたが求めているものかどうかはわかりません。 $T^2$$F$