独立性の検定と均質性の検定

私は基本的な統計コースを教えており、今日は2つのカテゴリーの独立性のカイ2乗検定と均質性の検定について説明します。これら2つのシナリオは概念的には異なりますが、同じテスト統計と分布を使用できます。均一性のテストでは、カテゴリの1つの限界合計は、設計自体の一部であると想定されます。これらは、各実験グループに対して選択された被験者の数を表します。しかし、カイ2乗検定はすべての周辺合計の条件付けを中心に展開するため、均質性の検定とカテゴリカルデータを使用した独立性の検定を区別しても、数学的影響はありません-少なくとも、この検定を使用する場合はありません。

私の質問は次のとおりです：独立性のテスト（すべての周辺がランダム変数）または同質性のテスト（周辺の1つのセットが存在する場合）に応じて、異なる分析をもたらす統計的思考または統計的アプローチの学校はありますか？デザインで設定）？

継続的なケースでは、同じ対象についてを観察し、独立性をテストするか、または異なる母集団で観察し、それらが同じ分布に由来するかどうかをテストする場合、方法は異なります（相関分析対t検定）。カテゴリカルデータが離散化された連続変数から得られた場合はどうなりますか？独立性と均質性のテストは区別できないでしょうか？（X 1、X 2$(X,Y)$$(X_1, X_2)$

「帰無仮説はどのように書くのですか？」と自問する必要があります。グループの中のいくつかの動作（y / n）の頻度の分割表を考えます。最初のグループを指示対象として扱うと、頻度とグループの間の関連を説明するオッズ比（）があります。K K - 1 θ 私、私は= 1 、2 、... 、kは- $2 \times k$$k$$k-1$$\theta_i, i = 1, 2, \ldots, k-1$

同質性の場合のように独立している場合、すべてのオッズ比が1であると想定します。つまり、条件に「はい」と応答する可能性は、グループの割り当てに関係なく、等しく可能性があります。これらの仮定が失敗した場合、少なくとも1つのグループが異なります。

$\mathcal{H}_0(\mbox{homogeneity}): \sum_{i=1}^{k-1} |\theta_i| = 0$

$\mathcal{H}_0(\mbox{independence}): \sum_{i=1}^{k-1} |\theta_i| = 0$

また、このテストは、観測/期待頻度を使用するピアソンカイ二乗検定で実行できます。これは、グループメンバーシップのインジケーター変数を調整するロジスティック回帰モデルのスコア検定です。したがって、構造的にはこれらのテストは同じであると言えます。$k-1$

ただし、グループ化因数の性質を考慮すると、違いが生じます。この意味で、テストのコンテキストアプリケーション、またはその名前は重要です。グループは、遺伝子の有無や特性の対立遺伝子パターンなどの結果の直接の原因である場合があります。その場合、nullを拒否すると、結果は問題のグループ化要因に依存すると結論付けます。

一方、同質性をテストするときは、因果関係の仮定を行うことを免れます。したがって、「グループ」が人種のような洗練された構成要素である場合（これは、遺伝的、行動的、社会経済的決定要因が原因であり、それによって引き起こされます）、「近隣の剥奪指数の異質性によって証明されるように、人種的少数派は住宅格差を経験する」などの結論を下すことができます。 。誰かが「少数民族は、下の教育を実現する低所得を獲得し、より少ない雇用得るためだけでなく、その者の」あなたが言うことができるが、言って、このような引数を反論した場合は、「私は自分のレースがいることを主張していない原因あなたがあれば、単にことを、これらの事を見て人種では、あなたは彼らの生活状態について予測を立てることができます。」

このように、依存性のテストは、潜伏因子の考えられる影響が重要であり、層別分析で処理する必要がある均質性のテストの特殊なケースです。類似のロジスティック回帰モデルで多変量調整を使用すると、このようなことが実現します。依存性のテストを実施しているとはいえ、必ずしも均一性である必要はありません。

ベイズ法でモデル化した場合、2つの問題には明確な違いがあります。一部の論文では、最初のケース（均一性）は「1つのマージンが固定された」サンプリングと呼ばれ、2番目のケース（独立性）は「合計テーブルが固定された」と呼ばれます。たとえば、Casellaらをご覧ください。（JASA 2009）。
私はこのトピックに取り組んでいますが、この区別を説明する私の論文はまだ出ていません:)