ワイブル分布対ガンマ分布

ガンマ分布とワイブル分布の背後にある直感の違いは何ですか？2つの密度の間に関係はありますか？

親切に助けてください。

gamma-distribution weibull

— バニ
ソース

ガンマ分布とワイブル分布の両方は、指数分布の一般化として見ることができます。ポアソンプロセスの待機時間（イベントが任意の時間間隔で等しく発生する可能性がある場合、イベントが発生するまで待機する必要がある時間）を記述するものとして指数分布を見ると、分布は、独立したイベントが発生するまで待機する必要がある時間を示します。 $\Gamma(k, \theta)$ $k$

一方、ワイブル分布は、あるイベントが時間とともに多かれ少なかれ発生する場合、そのイベントが発生するまで待機する必要がある時間を効果的に表します。ここで、パラメーターは、確率がどれほど速く上昇するかを示します（比例）。 $k$ $t^{k-1}$

2つの分布のPDFを見ると、効果の違いを確認できます。すべての正規化定数を無視する：

f_{Γ} （ バツ ） \propto {バツ}^{k - 1} \exp （ - \frac{バツ}{θ} ） f_{W} （ バツ ） \propto {バツ}^{k - 1} \exp （ - {（ \frac{バツ}{λ} ）}^{k} ）

$f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

$k > 1$ $k < 1$ $k = 1$

— マーティン・オリアリー
ソース

これは非常に役立ちます！当然、両方の分布は待機時間以外の変数に使用されることが多いため、導出と動機付けが大きく異なる場合があります。別の注意として、ワイブルとポアソンは人々にちなんで名付けられているため、最初の大文字に値しますが、指数関数とガンマの多くの議論は最初の大文字を使用しません。

— ニックコックス

大文字の使用を修正しました-答えを書いたときに疲れており、OPがガンマを大文字にしていたので、それで走りました。もちろん、これらのディストリビューションのすべての使用が待機時間であるわけではありませんが、これが最良の直観を提供すると思います。それについて別の良い考え方があれば、それを聞きたいです。

— マーティンオレアリー

一般的なストーリーはありません！姓が含まれていない場合、大文字（例：ガンマ/ガンマ）は当然の慣習です。

— ニックコックス