MLEの不変のプロパティ：のMLEが何であるかを

MLEの不変性：場合のMLEである任意の機能のために、次に、のMLEある。 $\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

また、は1対1の関数でなければなりません。$f$

この本は、「たとえば、通常の平均の二乗であるを推定するために、マッピングは1対1ではありません」と述べています。したがって、不変性プロパティは使用できません。${\theta}^2$

しかし、その後、それはその性質を証明し、「 MLEであり、正規平均の乗はことがわかりました」と述べています。$\theta^2$$\bar{x}^2$

これは自己矛盾しているようです。 2乗していが、何かの2乗は1対1ではありません。ここで何が間違っていますか？ありがとう！$\bar{x}$

ソース：カゼッラ＆バーガー「統計的推論」

それは正確にカゼッラとバーガーが言うことではありません。彼らは、変換が1対1である場合、不変性プロパティの証明は非常に簡単であることを認識しています（319ページ）。しかし、それらは不変性プロパティをパラメータの任意の変換に拡張し、320ページの誘導尤度関数を導入します。同じページの定理7.2.10は、拡張プロパティの証明を提供します。したがって、ここでは矛盾はありません。

「確率と統計的推論」の 350ページから：