rand（）^ 2の分布がrand（）* rand（）と異なるのはなぜですか？

Libre Office Calcでは、rand()均一分布から0〜1のランダムな値を選択する関数が使用可能です。私は自分の確率で少しさびているので、次のような振る舞いを見たとき、私は困惑しました：

A = 200x1列 rand()^2

B = 200x1列 rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

なぜmean(A)！=なの1/4か？

expected-value random-generation uniform

— ジェフトピア
ソース

確率変数の平方の期待値は、その期待値の平方に等しくないためです。

— マイケルM

rand()他の同様の演算子のように動作する場合、Aは同じ乱数の2乗であり、Bは乗算された2つの乱数です。

— ピーターフロム-モニカの復職

わかります。数学が正確に記述されているか、これを行うリソースにリンクされているのを見ることができれば、非常に役立ちます。

— ジェフトピア

状況を単純化すると、ポイントを理解するのに役立ちます。でRand()置き換えられたと仮定しInt(2*Rand())ます。これは、等しい確率で値とを取ります。その平方には2つの可能性があり、2つの（独立した）値の積には4つの可能性があります。期待値を計算するとどうなりますか？

0

$0$

1

$1$

— whuber

回答:

長方形を考えると役立つ場合があります。あなたが無料で土地を手に入れるチャンスがあると想像してください。土地のサイズは、（a）確率変数の1つの実現、または（b）同じ確率変数の2つの実現によって決定されます。最初のケース（a）では、面積は正方形であり、辺の長さはサンプリングされた値に等しくなります。2番目のケース（b）では、2つのサンプリング値は長方形の幅と長さを表します。どの選択肢を選びますか？

してみましょう正の確率変数の実現可能。 $\mathbf{U}$

a）1つの実現の期待値は、等しい正方形の面積を決定します。平均して、エリアのサイズは $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

B）は、2つの独立した実現ある場合及び、エリアとなり。平均して、大きさが等しい両方の実現が同じ分布と独立であるからです。 $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

領域a）とb）のサイズの差を計算すると、次のようになります。

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

上記の用語は本質的に以上のと同じです。 $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

これは一般的な場合に当てはまります。

あなたの例では、一様分布からサンプリングされた。したがって、 $\mathcal{U}(0,1)$

E [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V a r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

で我々が得 $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [{うん}^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

これらの値は分析的に得られたものですが、乱数ジェネレーターで取得した値と一致します。

— スヴェン・ホーエンシュタイン
ソース

任意の場合は

と

、私が手

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

— ジョン

それは分散の賢い使い方です。そして、ここで私は数学を直接打ち破ろうとしていました。

— アフィン

これは理にかなっています。それはすべて、分散が非負であることにかかっています。また、ジョンがどのように答えを得たかについても興味があります。

— ジェフトピア

基本的には、Svenが行ったことをそのまま踏襲しましたが、より一般的な均一分布の式に置き換えました。

— ジョン

は

読むべきではありませんか？

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

— BoppreH

Svenの優れた答えに欠けているものがあることを示唆するものではありませんが、私はこの質問について比較的初歩的な見解を提示したかったのです。

ジョイント分布が非常に異なることを確認するために、各製品の2つのコンポーネントをプロットすることを検討してください。

u1対u2およびu1対u1のプロット

製品は両方のコンポーネントが大きい場合にのみ大きくなる傾向があることに注意してください（1に近い）。これは、2つのコンポーネントが独立ではなく完全に相関している場合により簡単に起こります。

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$

かなり違います！

上記のようなグラフに等積等高線を描くと便利です。つまり、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9のような値に対してxy = constantの曲線です。値が大きくなるにつれて、独立したケースの場合、輪郭の上部と右側のポイントの割合がはるかに速く低下します。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース