IIDランダム変数の和の商の期待（ケンブリッジ大学ワークシート）

基本的な確率についての適切な知識が必要なインタビューを準備しています（少なくともインタビュー自体を通過するため）。学生時代から下のシートを改訂して作業しています。ほとんど簡単ですが、質問12で完全に困惑しています。

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

任意の助けいただければ幸いです。

編集：質問は：

がおよびある独立して同一に分布する正の確率変数であると仮定します。ましょう。示すことがとき、および場合。$X_1, X_2, ...$$\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$$m>=n$

実際、これをタイプする過程で、私は2番目の部分を解決しました。

以下のための、$m>=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

上記の比率の分子と分母は明らかに独立しているので、

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

そして、望ましい結果を得ます。

私はまだ最初の部分で立ち往生しています。

同一のコピーを追加するスポッティングは非常に賢いです！しかし、私たちの一部はそれほど賢くないので、何をすべきかがより明白な段階にビッグアイデアを「延期」できることは素晴らしいことです。どこから始めればよいかわからないため、対称性が非常に重要である可能性があるという手がかりがいくつかあるようです（追加は対称的であり、いくつかの合計があり、iid変数も同じ期待を持っているため、有用な方法で交換したり名前を変更したりできます）。実際、この質問の「難しい」ビットは、除算、つまり対称的でない演算の処理方法です。合計の対称性をどのように活用できますか？期待の直線性から、次のようになります。$n$$S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

しかし、対称性の理由から、がiidでであるとすると、右側のすべての項は同じです！どうして？とラベルを切り替えます。分母の切り替え位置にある2つの項ですが、並べ替えた後も合計はになりますが、分子はからます。したがって、です。と書いてみましょう。このような項がため、ます。$X_i$$m \le n$$X_i$$X_j$$i, j \le n$$S_n$$X_i$$X_j$$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$$1 \le i \le n$$m$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

正しい結果が得られるように見えます。しかし、それを証明する方法は？知ってる$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

この段階で私に気づいたのは、これらを一緒に追加して取得することです

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

この方法の良い点は、質問の2つの部分の単一性が維持されることです。対称性が崩れ、場合に調整が必要になるのは、期待値の線形性を適用した後の右側の項が、分子のが分母の合計にあるかどうかに応じて2つのタイプになるためです。（以前と同様に、合計並べ替えるだけで分母に両方が表示される場合、またはどちらもそうでない場合、合計が明らかに変更されないまま、とラベルを切り替えることができます分母の項の数が変化し、合計されなくなりました。）、$m>n$$X_i$$X_i$$X_j$$S_n$$S_n$$i \le n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$そしてにはと言います。前者は、後者は、$i>n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$$n$$m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

次に、と for独立性を使用して見つけるのは簡単です$r$$S_n^{-1}$$X_i$$i>n$$r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

したがって、同じ「トリック」が両方の部分で機能し、場合、2つのケースを処理するだけです。これが問題の2つの部分がこの順序で与えられた理由だと思います。$m>n$

最初の部分のヒントをくれたwhuberに感謝します。

場合はを考慮してください$nS_m/S_n$$m<=n$

我々は$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

そして、iidプロパティにより、これは次と等しくなります。

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

したがって、 for$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$