因果的ベイジアンネットワークにおけるd分離理論の理解

因果ベイジアンネットワークのd分離ロジックを理解しようとしています。アルゴリズムがどのように機能するかは知っていますが、アルゴリズムで述べられているように「情報の流れ」が機能する理由を正確には理解していません。

たとえば、上記のグラフでは、Xのみが与えられ、他の変数は観測されていないと考えてみましょう。次に、d分離の規則に従って、XからDへの情報の流れ：

1. Xは、であるAに影響します。AはXを引き起こし、効果Xを知っている場合、これは原因Aの信念に影響を与えるため、これは問題ありません。情報フロー。$P(A)\neq P(A|X)$

2. XはBに影響を与えます。これはです。これは問題ありません。AはXに関する知識によって変更されているため、Aでの変更は、その原因であるBについての私たちの信念にも影響を与える可能性があります。$P(B)\neq P(B|X)$

3. XはCに影響を与えます。これはです。これは問題ありません。なぜなら、Bはその間接効果Xに関する知識によってバイアスされていることを知っているからです。CはBの直接的な効果であり、Xに関する知識の影響を受けます。$P(C)\neq P(C|X)$

さて、この時点まで、情報の流れは直感的な因果関係に従って発生するため、すべてが問題ありません。しかし、このスキームでは、いわゆる「V構造」や「コライダー」の特別な動作は得られません。d-Separation理論によれば、BとDは上のグラフのCの一般的な原因であり、Cまたはその子孫を観察しなかった場合、Xからのフロー情報はCでブロックされます。 、しかし私の質問はなぜですか？

Xから開始した上記の3つのステップから、CはXに関する知識の影響を受け、情報フローは原因と結果の関係に従って発生することがわかりました。d-分離理論では、Cは観測されないため、CからDに進むことはできないとされています。しかし、私はCが偏っていてDがCの原因であることを知っているので、理論は反対のことを言いながらDも影響を受けるべきだと思います。私の思考パターンには明らかに何かが欠けていますが、それが何であるかを見ることができません。

したがって、Cが観察されない場合、Cで情報の流れがブロックされる理由の説明が必要です。

原因から観察されていない効果まで、別の原因まで推論できないのは直感的ではありませんか？雨（B）とスプリンクラー（D）が湿った地面（C）の原因である場合、雨を見ると地面がおそらく湿っている可能性があり、地面からスプリンクラーがオンになっている必要があると主張し続けることができます濡れている？！もちろん違います。あなたは、雨のために地面が濡れていると主張しました。あなたは、他の原因を探すことはできません！

濡れた地面を観察すると、もちろん状況は変わります。これで、フランクが説明するように、ある原因から別の原因に推論できるようになります。

しばらくXを忘れて、B、C、Dのコライダーだけを考えてみましょう。v構造がBとDの間のパスをブロックできる理由は、一般に、2つの独立したランダム変数（BとD）同じ結果に影響する（C）、結果を知ることで、ランダム変数間の関係について結論を導き、情報の流れを可能にすることができます。

$P(B|D) \neq P(B)$$P(D|B) \neq P(D)$）。したがって、芝生が濡れていることを知ると、パスのブロックが解除され、BとDが依存します。

これをよりよく理解するには、同じ状況を説明するBerksonのParadoxを見ると便利です。

さて、この時点まで、情報の流れは直感的な因果関係に従って発生するため、すべてが問題ありません。しかし、このスキームでは、いわゆる「V構造」や「コライダー」の特別な動作はしません。

ここで割れるのは、V構造です。架空の例を使用して、効果の観察のみに条件付けられた変数Sの確率と、同じ状況でSに依存しない別の変数Dの観察の影響との違いを説明したいと思います。

誰かがコースを取っているとしましょう、線形代数。彼が合格できるかどうかは、主に試験の難しさにかかっています。Pでコースを渡すイベントを示しましょう。それ以外の場合は1と0を渡します。また、試験の難易度はD、難易度は1、難易度は0です。また、ナンセンスがパフォーマンスや結果に影響を与える可能性があります。特異点が発生し、マシンで洗脳された後、試験を受ける。そのイベントをSで表し、その確率は0.0001です。それは不可能に思えますが、定義によりその可能性はゼロであってはなりません。

したがって、v構造フォームのグラフができました。

 D   S
  | |
 \| |/ 
   P  

$P(\neg P|S) = 0.999999$$P(P|S)=0.000001$

| d0   | d1      |      
|:-----|--------:|   
| 0.5  | 0.5     |  

| s0     | s1      |      
|:-------|--------:|   
| 0.9999 | 0.0001  |

| S     | D    | P(p0|S,D) | P(p1|S,D) |  
|:------|-----:|----------:|----------:|
|s0     | d0   |   0.20    |   0.80    |
|s0     | d1   |   0.90    |   0.10    |
|s1     | d0   |   0.999999|   0.000001|
|s1     | d1   |   0.999999|   0.000001| 

$P(S|P)$$P(S|P, D)$

1）結果がわからない場合、コースが簡単であれば、特異点が発生する確率を計算できます。

$$\begin{align} P(S|\neg D) & = P(S, P|\neg D)+P(S, \neg P| \neg D) \\ & = \frac{P(S=1, P=1, D=0)}{P(D=0)} + \frac{P(S=1, P=0, D=0)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)P(P=1|D=0,S=1)}{P(D=0)} + \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)P(P=0|D=0,S=1)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0)}{P(D=0)} \\ & = P(S=1) \\ & = 0.0001 \end{align}$$

As you can see above that doesn't matter if the exam is passed or not. What comes as it should come. It can be seen as a marginal probability over P.

And we can also work out the probability the the singularity happens given that the student doesn't pass the exam:

$$\begin{align} P(S, |\neg P) &= \frac{P(S,\neg P)}{P(\neg P)} \\ &= \frac{P(S,\neg p, D) + P(S,\neg P, \neg D)}{P(\neg P)}\\ &= \frac{P(\neg P|S, D) P(S) P(D)+P(\neg P|S, \neg D)P(S)P(\neg D)}{\sum_{S,D}P(\neg P |S,D)P(S)P(D) }\\ &= 0.0001818 \end{align}$$

Knowing that the guy doesn't pass the exam we can guess that he may be brainwashed by a machine is 0.0001818 which is a little bigger than when we don't know it.

2) But what if we know that the guy failed the exam and the exam is easy?

$$\begin{align} P(S, |\neg P, \neg D) &= \frac{P(S=1, P=0, D=0)}{P(P=0, D=0)} \\ & = \frac{P(P=0|S=1, D=0)P(S=1)P(D=0)}{P(P=0|S=1, D=0)P(S=1)P(D=0)+P(P=0|S=0, D=0)P(S=0)P(D=0)} \\ & = \frac{0.999999 \times 0.0001 \times 0.5}{0.2 \times 0.9999 \times 0.5+0.999999 \times 0.0001 \times 0.5} \\ & = 0.0004998 \end{align}$$

Lo and behold, the change is much bigger than we just know he doesn't plass the exam. Then we see that $P(S|P) \neq P(S|P, D)$ we can infer that $S \perp D | P \notin I(P(P, S, D))$ which means D can influence S via P.

May this detailed derivation be of hlep.