Irwin-Hall分布をより一般的にすることはできますか？

均一な、尖った、正規のガウス分布を含む、対称性の低い尖度分布クラスを見つける必要があります。Irwin-Hall分布（標準のユニフォームの合計）はこの特性を提供しますが、非整数次数扱いません。ただし、たとえば2つの標準的なユニフォームと1つの3rdをような小さい範囲で単純に独立して合計すると、実際には任意の任意の次数（この場合はように）。しかし、CDFの実用的な閉じた式を見つけることは可能ですか？ $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

— user32038
ソース

「スムーズに拡張」はいくつかの厄介な問題を提起します。stats.stackexchange.com/questions/41467のスレッドで、ポスターは、アーウィンホール分布の滑らかさが（積分）値から次の値に突然変化することを観察しています。これは、実際の値によってパラメーター化される数学的に「素敵な」閉じた形式が存在することを期待すべきではないことをすでに示唆しています。さらに、Irwin-Hall分布自体についても、そのような閉じた式はありません。

n

$n$

n

$n$

— whuber

こんにちは、私は詳細なサンプリング実験を行い、そのような一般化されたアーウィンホール分布のヒストグラムを調べます。実際、整数以外のNを導入すると、動作のジャンプを回避できます。また、例えば、尖度は、実数値のNでスムーズに増加します。これが当てはまらない場合は、実際には良くありません。何らかの形でCDFのIrwin-Hall加算式を拡張できると思います。

— user32038 2013年

総和は、通常の言葉の意味での「閉じた式」ではありません。これは、変化すると項の数が無制限に増えるためです。真の閉じた式が存在するため、これは重要な違いです。Irwin-Hall分布の特性関数非積分に対して存在しますしたがって、その逆フーリエ変換はあなたの質問に答えます-つまり、それが閉じた実用的な公式であると考えるなら！

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$

n

$n$

— whuber

こんにちは！Pascalなどの適切な実装が必要です。中程度のN（20など）の場合、有名なIrwin-Hall CDF式はまったく問題ありませんが、たとえば、積分、（逆）フーリエ変換など、計算にあまり時間をかけたくありません。もちろん、フーリエ変換アプローチはエレガントですが、それほど正確ではありません。「大きな」xのCDF（x）に非常に関心があるため、テール領域が重要になります。

— user32038 2013年

こんにちは、PDFのフーリエ変換から単純なCDFにどのように移行するかを詳しく説明できますか？（一般的に、この方法には尾部に振動の問題があると思いますが、たとえば、積分を評価しようとすると負のPDFが得られます...）。

— user32038 2013年

さて、これは実際には完全な答えではありません。後で戻って完了する予定です...

ブライアンリプリーの本のストキャスティックシミュレーションは、運動3.1ページ92として閉じたpdf式を持ち、以下に与えられます：これのR実装は以下のとおりです。

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

これは次のように使用されます：

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

このプロットを与える：

整数値の滑らかさは、少なくとも良い視力で見ることができます.... $x=1, x=2$

（後でこれを完了するために戻ってきます）

— kjetil b halvorsen
ソース

+1時間がある場合は、これがどのように完了するかを確認したいと思います。...余談ですが、ここでは（2次導関数に不連続性があるという意味で）滑らかさが不足していることを知っていますが、私はそれを滑らかではないと実際に感じているとは言えません（私の目は「よじれがなく、滑らかに見えます」）。そのカーブに沿ってジェットコースターに乗っていれば、きっと変化を感じられると思います。

— Glen_b-モニカを2017

しばらくの間...後で

— kjetil b halvorsen 2017年

滑らかさが不足していることを確認するには、おそらく整数を含めるようにプロットポイントを選択する必要があります...

— kjetil b halvorsen 2018年