条件付き独立性とそのグラフィック表現に関する

共分散の選択を研究するとき、私は一度以下の例を読みました。次のモデルに関して：

その共分散行列と逆共分散行列は次のように与えられます、

ここでと独立性がここで逆共分散によって決定される理由がわかりませんか？$x$$y$

この関係の基礎となる数学的ロジックは何ですか？

また、次の図の左側のグラフは、と間の独立関係を表すためのものです。どうして？$x$$y$

逆共分散行列を使用して、多変量ガウス分布の条件付き分散と共分散を計算できます。以前の質問はいくつかの参照を与えます

たとえば、値指定されたおよび条件付き共分散を見つけるには、逆共分散行列の右下隅を使用します$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

これは実際に値で条件付けされたと共分散行列を与えます。$Y$$Z$$X=x$

同様に、値が与えられたとの条件付き共分散行列を見つけるには、逆共分散行列の左上隅を使用します。$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

が指定されたと間の条件付き共分散が（およびそれらの条件付き分散がそれぞれ）を通知します。 $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

このゼロの条件付き共分散が条件付きの独立性を意味すると結論付けるには、これが多変量ガウスであることも使用する必要があります（一般にゼロの共分散は必ずしも独立性を意味しないため）。これは構造からわかります。

あなたが言われているので間違いなく、あなたはまた、建設から条件付き独立を知っていると IID、そのために特定の値に条件付けられる、と IIDもあります。を知っている場合、可能な値について何かを言うのに役立つからの追加情報はありません。$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

これは、正しく受け入れられた回答の補足です。特に、元の質問には、その本の発言に関する追加の質問が含まれています。

また、次の図の左側のグラフは、と間の独立関係を捉えていると主張していますが、なぜですか？ $X$$Y$

これがこの回答で扱われていることであり、この回答で扱われているのはこれだけです。

同じページにいることを確認するために、以下では、（少なくとも大まかに）マルコフ確率フィールドに対応する（無向）条件付き独立グラフのこの定義を使用します。

定義：の条件付き独立グラフは、無向グラフここで、およびは、次の場合に限り、エッジセットにありません。。（ は、およびを除くすべての確率変数のベクトルを示します。）$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

から。Whittakerの60 、Applied Mathematical Multivariate Statistics（1990）のグラフィカルモデル。

ここでは、正しい、受け入れ答えにヘンリーによって与えられた引数を使用して、我々はそれを確立することができと条件付きで独立している与えられた、表記で、。$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

3つの確率変数は、およびだけなので、他のすべての確率変数（この場合は）が与えられた場合、とは条件付きで独立しています。$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

上記の条件付き独立グラフの定義を使用すると、これは、と間のエッジを除いて、グラフのすべてのエッジを含める必要があることを意味します。実際、これはまさにその画像の右側のグラフに示されているものです。$X$$Y$

左側のグラフについては、コンテキストがなければ明確ではありませんが、逆共分散行列のエントリにゼロがない場合、条件付き独立グラフがどのように見えるかを示すだけだと思います。

特に、上記の定義を使用すると、ノードの完全なグラフから開始できます。これは、その図の左側のグラフです。次に、最初のグラフからすべてを削除することにより、条件付き独立グラフを導出できます。条件付き独立確率変数に対応するエッジ。画像は2つのグラフを明示的に（「対」で）比較します。これは、最初の完全なグラフと最後の条件付き独立グラフの比較が示唆されていることを示唆しています。上記。$X, Y, Z$