「カーネル密度推定」は、何の畳み込みですか？

カーネル密度推定の理解を深めようとしています。

ウィキペディアの定義を使用：https : //en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation#Definition

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

レッツテイク矩形与える関数であるた場合間にあるととさもなければ、及び 1であると（ウィンドウサイズ）。$K()$$1$$x$$-0.5$$0.5$$0$$h$

密度は2つの関数の畳み込みであることは理解していますが、これら2つの関数を定義する方法がわかりません。それらの1つは（おそらく）データの関数であり、Rのすべてのポイントに対して、その場所にあるデータポイントの数（ほとんど）を示します。そして、他の関数は、おそらくウィンドウサイズと組み合わされたカーネル関数の何らかの修正であるはずです。しかし、それをどのように定義するのか分かりません。$0$

助言がありますか？

Bellowは、（私が疑う）上記で定義した設定を（2つのガウスと混合で）複製するRコードの例であり、その上で、畳み込まれる関数が疑わしいという「証明」を見たい。$n=100$

# example code:
set.seed(2346639)
x <- c(rnorm(50), rnorm(50,2))
plot(density(x, kernel='rectangular', width=1, n = 10**4))
rug(x)

データのバッチに対応するはその「経験密度関数」です$X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$$f_X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-x_i).$$

ここで、は「一般化された関数」です。その名前にもかかわらず、それは関数ではありません。それは積分内でのみ使用できる新しい数学的なオブジェクトです。その定義プロパティは、近傍で連続しているコンパクトサポートの関数、$\delta$$g$$0$

$$\int_{\mathbb{R}}\delta(x) g(x) dx = g(0).$$

（名前には、「アトミック」または「ポイント」メジャーと「ディラックデルタ関数」が含まれます。次の計算では、この概念は、片側からのみ連続する関数を含むように拡張されます。）$\delta$グラム$g$

この特徴付けを正当化することは、$f_X$

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{x} f_X(y) dy &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{x} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}} I(y\le x) \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} I(x_i \le x) \\ &= F_X(x) }$$

ここで、は通常の経験的CDFで、は通常の特性関数です（引数がtrueの場合は、それ以外の場合は）。（私は上で定義された関数にコンパクトサポートの機能を移動するために必要な基本制限引数スキップ ;ので唯一の範囲内の値のために定義される必要があるコンパクトであり、これは問題ありません。）$F_X$$I$$1$$0$$\mathbb{R}$$I$$X$

と他の関数の畳み込みは、定義により次のように与えられます。$f_X(x)$$k$

$$\eqalign{ (f_X * k)(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_X(x - y) k(y) dy \\ &=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} k(x_i-x). }$$

せる$k(x) = K_h(-x)$（同じである$K_h(x)$ウィキペディア式は畳み込みである： -対称カーネルおよび最もカーネルが対称である）我々は主張結果を取得します。