単純なR lmモデルから対数尤度を再計算する

私は単純にdnorm（）を使用して、lmモデル（R）からのlogLik関数によって提供される対数尤度を再計算しようとしています。

大量のデータ（n = 1000など）でも（ほぼ完全に）機能します。

> n <- 1000
> x <- 1:n
> set.seed(1)
> y <- 10 + 2*x + rnorm(n, 0, 2)
> mod <- glm(y ~ x, family = gaussian)
> logLik(mod)
'log Lik.' -2145.562 (df=3)
> sigma <- sqrt(summary(mod)$dispersion)
> sum(log(dnorm(x = y, mean = predict(mod), sd = sigma)))
[1] -2145.563
> sum(log(dnorm(x = resid(mod), mean = 0, sd = sigma)))
[1] -2145.563

しかし、小さなデータセットには明確な違いがあります：

> n <- 5
> x <- 1:n
> set.seed(1)
> y <- 10 + 2*x + rnorm(n, 0, 2)
> 
> mod <- glm(y ~ x, family = gaussian)
> logLik(mod)
'log Lik.' -8.915768 (df=3)
> sigma <- sqrt(summary(mod)$dispersion)
> sum(log(dnorm(x = y, mean = predict(mod), sd = sigma)))
[1] -9.192832
> sum(log(dnorm(x = resid(mod), mean = 0, sd = sigma)))
[1] -9.192832

データセットの影響が小さいため、lmとglmの間の残差分散推定の違いが原因であると考えましたが、lmを使用すると、glmと同じ結果が得られます。

> modlm <- lm(y ~ x)
> logLik(modlm)
'log Lik.' -8.915768 (df=3)
> 
> sigma <- summary(modlm)$sigma
> sum(log(dnorm(x = y, mean = predict(modlm), sd = sigma)))
[1] -9.192832
> sum(log(dnorm(x = resid(modlm), mean = 0, sd = sigma)))
[1] -9.192832

どこが間違っているのですか？

このlogLik()関数は、未知のパラメーターの値をパラメーターのML推定値に置き換えることにより、対数尤度の評価を提供します。これで、回帰パラメーターの最尤推定値（のの）は最小二乗推定値と一致しますが、 ML推定値は、これはを使用していますが、これは不偏の平方根です推定。$\beta_j$$X{\boldsymbol \beta}$$\sigma$$\sqrt{\frac{\sum \hat\epsilon_i^2}{n}}$$\hat\sigma = \sqrt{\frac{\sum \hat\epsilon_i^2}{n-2}}$$\sigma^2$

>  n <- 5
>  x <- 1:n
>  set.seed(1)
>  y <- 10 + 2*x + rnorm(n, 0, 2)
>  modlm <- lm(y ~ x)
>  sigma <- summary(modlm)$sigma
> 
>  # value of the likelihood with the "classical" sigma hat
>  sum(log(dnorm(x = y, mean = predict(modlm), sd = sigma)))
[1] -9.192832
> 
>  # value of the likelihood with the ML sigma hat
>  sigma.ML <- sigma*sqrt((n-dim(model.matrix(modlm))[2])/n) 
>  sum(log(dnorm(x = y, mean = predict(modlm), sd = sigma.ML)))
[1] -8.915768
>  logLik(modlm)
'log Lik.' -8.915768 (df=3)