期待の添字表記

測定理論の枠組みにおける条件付き期待値の添字表記の正確な意味は何ですか？これらの添え字は、条件付き期待値の定義には表示されませんが、たとえばwikipediaのこのページに表示される場合があります。（数ヶ月前の同じページではないことに注意してください）。 $\mathbb{E}_X[f(X)]$

例えばの意味は何をする必要がありますでと？ $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— エミール
ソース

間違いなく、誰かが正式な定義に耳を傾けます。非公式に、すべての期待は、明示的に指定されているか黙示されているかに関係なく、いくつかの（おそらく多変量）確率変数の分布に対する期待です。多くの場合、それは明らかです（

は

ではなく

意味し

）。また、区別する必要がある場合もあります。たとえば、合計分散の法則を考えてみましょう

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

。

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b総分散の法則で指定することは本当に必要ですか？As

は、いくつかの

、

は

超えていますか？

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— トーマスエール

@ThomasAhleおっしゃるとおりです。「必要」という言葉は、この例では強すぎました。厳密に言えば明確であるべきですが、それを使用することに慣れていない読者にとってはしばしば混乱のポイントとなるため、それについて明示することは必要というよりも一般的です。指定せずに確実にできない期待を含むいくつかの表現がありますが、それは実際にはそれらの1つではありません

— -Glen_b

$E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

$E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

下付き文字が存在する場合...場合によっては、どの変数で条件付けする必要があるかを示します。そう

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

...しかし、他の場合には、「平均化」に使用する密度を教えてくれます

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

むしろ紛らわしいと思いますが、誰が科学表記法に曖昧さや複数の使用法がないと言ったでしょうか？各著者がそのような記号の使用をどのように定義するかを確認する必要があります。

— アレコスパパドプロス
ソース

2つの質問があります。1）これを適切に理解しているかどうかわからないが、XまたはYのいずれかが修正されている場合、最初の2つの方程式の1つとして期待を解釈できますか？2）EQ 4およびEQ 5の例を挙げてください。私はそれらを解釈するのに苦労しており、具体的な例が役立つと思います。ありがとう！

— 天井猫

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

@ceiling cat前回の2つのコメントのどちらの場合でも、数学計算の「メカニズム」は同じです。ただし、最終結果の解釈は異なります。

— アレコスパパドプロス

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— アレコスパパドプロス