シグモイド曲線の直線部分の勾配の推定

私はこの仕事を与えられて困惑しました。同僚から、次のグラフのとx l o w e rを推定するように依頼されました。$x_{upper}$$x_{lower}$

曲線は実際には累積分布であり、xはある種の測定値です。彼は、累積関数が直線になり始め、直線から逸脱したときのxの対応する値を知りたいと思っています。

微分を使用してポイントの勾配を見つけることができることは理解していますが、直線をいつ呼び出すことができるかを判断する方法がわかりません。いくつかの既存のアプローチ/文学への少しのナッジは非常に高く評価されます。

この種の調査で関連するパッケージや例を知っていたら、Rも知っています。

どうもありがとう。

更新

Floundererのおかげで、作業をさらに拡張し、フレームワークを設定し、あちこちでパラメーターをいじくり回すことができました。学習目的のために、ここに私の現在のコードとグラフィック出力があります。

library(ESPRESSO)

x <- skew.rnorm(800, 150, 5, 3)
x <- sort(x)
meanX <- mean(x)
sdX <- sd(x)
stdX <- (x-meanX)/sdX
y <- pnorm(stdX)

par(mfrow=c(2,2), mai=c(1,1,0.3,0.3))
hist(x, col="#03718750", border="white", main="")

nq <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(nq, col="#6dc03480")

log.nq <- log(nq)
low <- lowess(log.nq)
cutoff <- .7
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.nq, col="#6dc03480")
abline(h=q, col="#348d9e")

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y,pch=16,col="#03718750", axes=F)
axis(side=1)
axis(side=2)
abline(v=c(x.lower, x.upper),col="red")
text(x.lower, 1.0, round(x.lower,0))
text(x.upper, 1.0, round(x.upper,0))

@alexの提案に基づく迅速で汚いアイデアを以下に示します。

#simulated data
set.seed(100)
x <- sort(exp(rnorm(1000, sd=0.6)))
y <- ecdf(x)(x)

データのように見えます。アイデアは今、派生物を見て、それが最大であるところを見ることを試みることです。これは、S字型であるため、曲線の最も直線的な部分になります。

NQ <- diff(y)/diff(x)
plot.ts(NQ)

$x$

log.NQ <- log(NQ)
low <- lowess(log.NQ)
cutoff <- 0.75
q <- quantile(low$y, cutoff)
plot.ts(log.NQ)
abline(h=q)

$x$

x.lower <- x[min(which(low$y > q))]
x.upper <- x[max(which(low$y > q))]
plot(x,y)
abline(v=c(x.lower, x.upper))

cutoff$y$