ガンマ対対数正規分布

ガンマ分布または対数正規分布と非常によく似た実験的に観察された分布があります。対数正規分布は、の平均と分散が固定されているランダム変量の最大エントロピー確率分布であることを読みました。ガンマ分布には同様の特性がありますか？ $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal

— 大瀬
ソース

なぜそのようなプロパティは、どちらが適切なモデルになるかを決定するのに価値があるのですか？

— Glen_b

@Glen_b統計に関してはまだ初心者なので、私の知識はかなり基本的です。ガンマ分布と対数正規分布のプロットを見ると、定性的には非常によく似ています。両者の量的な違いを探しています。たとえば、ガンマまたは対数正規分布が発生する物理アプリケーションの例は何ですか？

— OSE

実際には、実際にはどちらも実際には発生しません。これらは非常に単純なモデルであり、現実の近似（ラフな場合）に役立つことがあります。質的な違いを説明する回答を投稿します。

— Glen_b

@glen_b：その理由は、これらの統計のみを測定している場合、最小の仮定的分布は、それらの十分な統計を持つ指数関数型の分布であるためです。分布は現実の貧弱なモデルである可能性がありますが、どの測定を行うかを自由に選択できない場合、これはモデルを選択する優れた方法です。

— ニールG

@Glen_b CLTがあるため、物理的な状況では対数正規分布が現れるはずです。

— ステファンローラン

回答:

質的な違いに関しては、対数正規分布とガンマは、あなたが言うように非常に似ています。

実際、実際には、それらは同じ現象をモデル化するためにしばしば使用されます（他の人が対数正規を使用するガンマを使用する人もいます）。これらは両方とも、たとえば、変動係数が一定のモデルです（対数正規分布のCVは、ガンマのためにそれはだ $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ ）。 $1/\sqrt \alpha$

[パラメータに依存する場合、どのように定数にすることができますか？スケール（対数スケールの場所）をモデル化するときに適用されます。対数正規の場合、はスケールパラメーターとして機能しますが、ガンマの場合、スケールは形状パラメーター（または形状レートパラメーター化を使用する場合はその逆数）ではないパラメーターです。ガンマ分布スケールパラメーターを呼び出します。ガンマGLMSモデル平均（）を保持しながら、定数を、その場合、はスケールパラメーターでもあります。と定数またはそれぞれ異なるモデルは、定数CVを持ちます。] $\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

ログの密度を見ると有益な場合がありますが、これはしばしば非常に明確な違いを示しています。

対数正規確率変数のログは...正常です。対称的です。

ガンマランダム変数のログは左スキューです。形状パラメーターの値に応じて、かなり歪んだり、ほぼ対称になります。

以下は、平均が1で分散が1/4の対数正規分布とガンマの両方の例です。上のプロットは密度（緑のガンマ、青の対数正規）を示し、下のプロットはログの密度を示します。

ガンマと対数正規、ログの密度と密度

（ログの密度のログをプロットすることも有用です。つまり、上のy軸でログスケールを取得します）

この違いは、ガンマの左側にテールが多く、右側にテールが少ないことを意味します。対数正規分布の右端がより重く、左端がより軽い。あなたは歪度を見ればそして実際、対数正規およびガンマの、変動の与えられた係数のために、対数正規の（スキューより右であるガンマ（より））。 $\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

+1。ガンマの対数の歪度について閉じた式があるかどうか知っていますか？対数正規の場合、対数の歪度は明らかにゼロであり、ガンマに何らかの表現があるかどうか疑問に思っています。ウィキペディアには、log（gamma）の平均と分散の式がありますが、歪度の式はありません。

— アメーバは、モニカを復活させる

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ ガンマ関数の微分として、おそらくより高くすることは可能です。したがって、歪度は確かに実行可能ですが、特に「きれい」ではありません。あなたがそれを追求したい場合、私はあなたに必要なものを与えることができます。

— Glen_b-モニカを

ただし、その兆候を識別するために歪度を評価する必要はありません。ログの密度のログを調べると、一方が明らかに他方を支配していることを確認するのに十分です。

— グレン_b-モニカの復活

ありがとう、グレン。私はそれを新しい質問として投稿することにしました：stats.stackexchange.com/questions/312803。準備ができた回答を探すのにしばらく時間を費やしましたが、見つけることができませんでした。Math.SEの方がやや良いかもしれませんが、正直に言うと、ここに置いておきたいと思います。

— アメーバは、モニカを復活させる

$E(X)$ $E(\log X)$

これらの分布を生成する物理プロセスに関する質問に答えるには、たとえば、Xが非常に多くの小さな要因の積である場合など、Xの対数が正規分布するときに対数正規分布が発生します。Xがガンマ分布の場合、それは多くの指数分布変量の合計です。たとえば、ポアソンプロセスの多くのイベントの待機時間。

— ニール・G
ソース

「多くの」指数変量がガンマである必要はありません。

— ステファンローラン