階層的ガンマポアソンモデルの超優先密度

データ階層モデルでは、 は、実際には値（ガンマ分布の平均と分散がデータ平均と分散にほぼ一致するように（たとえば、Clayton and Kaldor、1987 "Empirical Bayes Estimates of Age-Standardized Relative Risks for Disease Mapping"、Biometrics）。明らかに、これはアドホックソリューションにすぎません。パラメータに対する研究者の信頼を誇張するためです。$y$

$$y \sim \textrm{Poisson}(\lambda)$$ $$\lambda \sim \textrm{Gamma}(\alpha, \beta)$$ $\alpha, \beta)$$y$$(\alpha, \beta)$また、基礎となるデータ生成プロセスが同じであっても、実現されたデータのわずかな変動がガンマ密度に大きな影響を与える可能性があります。

さらに、Bayesian Data Analysis（2nd Ed）で、Gelmanはこの方法は「だらしない」と書いています。この本とこの論文（p。3232から始まる）では、代わりに、ラット腫瘍の例（p。130から始まる）と同様の方法で、いくつかの超優先密度を選択することを提案しています。$p(\alpha, \beta)$

有限の事後密度を生成する限りどのも許容できることは明らかですが、過去にこの問題で研究者が使用した超優先密度の例は見つかりませんでした。ポアソンガンマモデルを推定するためにハイパープライオリティを採用した本や記事を誰かに教えてもらえれば幸いです。理想的には、が比較的フラットで、ラットの腫瘍の例のようなデータ、またはいくつかの代替仕様とそれぞれに関連するトレードオフを比較する議論によって支配されることに興味があります。$p(\alpha, \beta)$$p(\alpha, \beta)$

質問に実際には答えていません。ハイパープライオリティを採用した本や記事を紹介するのではなく、ガンマパラメータのプライオリティーについて説明し、リンクしています。

まず、ポアソンガンマモデルは、が積分されると、パラメーターおよびをもつ負の二項分布につながることに注意してください。2番目のパラメーターはの範囲です。情報が不足したい場合は、前のJeffreys が適切です。前のものをに直接置くか、変数の変更を処理して取得できます。$\lambda$$\alpha$$\beta/(1+\beta)$$(0,1)$$p = \beta/(1+\beta)$$p$

$p(\beta) \propto \beta^{-1/2}(1+\beta)^{-1}$

また、あなたがいることを注意してください可能性がガンマ分布のスケールパラメータであり、そして、一般的に、ジェフリーズは、前のスケールパラメータのある。前のジェフリーズが2つのモデル間で異なるのは奇妙に思えるかもしれませんが、モデル自体は同等ではありません。1つはの分布です、その他は。前者を支持する議論は、クラスタリングがないと仮定すると、データは実際には負の二項に分散されるため、事前分布をと直接置くことです。$\beta$$\beta$$1/\beta$$\beta$$y | \alpha, \beta$$\lambda | \alpha, \beta$$(\alpha, p)$$\alpha$$p$すべきことです。OTOH、たとえば、各クラスターの観測値が同じであるクラスターがデータにある場合、実際にはをモデル化する必要があるため、をガンマ分布のスケールパラメーターとして扱うより適切に思えます。（おそらく論争の的になるトピックについての私の考え。）$\lambda$$\lambda$$\beta$

最初のパラメーターは、Jeffreysの事前変数を介して対処することもできます。各パラメーターのジェフリーズの事前分布を個別に開発する一般的な手法を使用して、2つの単一パラメーターの事前分布の積としてジョイント（非ジェフリー）事前分布を形成すると、ガンマ分布の形状パラメーターの事前分布が得られます。 ：$\alpha$

$p(\alpha) \propto \sqrt{\text{PG}(1,\alpha)}$

ここで、ポリガンマ関数です。ぎこちないが切り捨て可能。これを上記のJeffreys事前分布のいずれかと組み合わせて、有益でない共同事前分布を取得できます。これをガンマスケールパラメータの前のと組み合わせると、ガンマパラメータの前の参照になります。$\text{PG}(1,\alpha) = \sum_{i=0}^{\infty}(i+\alpha)^{-2}$$1/\beta$

フルJeffreysルートに進み、ガンマパラメータの前に真のJeffreysを形成したい場合、次のようになります。

$p(\alpha, \beta) \propto \sqrt{\alpha \text{PG}(1,\alpha)-1}/\beta$

ただし、多次元パラメーターのジェフリーズ事前分布は、プロパティと収束特性がよくありません（講義へのリンクを参照）。これがガンマに当てはまるかどうかはわかりませんが、テストによっていくつかの有用な情報が得られます。

ガンマの事前分布の詳細については、非有益な事前分布のカタログ、ヤンとバーガーの13-14ページを参照してください。他にもたくさんのディストリビューションがあります。ジェフリーズと参考文献の概要については、講義ノートをいくつか示します。