密度が指数関数であるかどうかの確認

これが指数関数的ファミリーに属していないことを証明しようとしています。

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

これが私のアプローチです：

f (y | a) = 4 (y + a) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = 4(y+a)e^{-log(1+4a)}$

f (y | a) = (4 y) (1 + \frac{a}{y}) e^{- l o g (1 + 4 a)}

$f(y|a) = (4y)(1+\frac{a}{y})e^{-log(1+4a)}$

標準形式と比較すること、及びのみの関数であることを有する、の観点から定義することができないように、単独で、におけるは不可分です。これは、この分布が指数ファミリーに属していないことを示すのに十分ですか？ $h(y) = 4y$ $g(a)$ $a$ $a$ $y$ $1+\frac{a}{y}$

私のアプローチを確認してください。

self-study pdf exponential-family

— user30438
ソース

問題の核心に指を置いたので、確かに結果はかなり明白ですが、ロジックは少しずれているようです。以下で説明する方法では、問題が完全に自明になるまで、対数と微分を繰り返し使用して問題を徐々に単純化します。

定義により、は指数ファミリーのPDFであり、その対数はパラメーター（）のみに関して何かの合計、データ（）に関してのみ他のものの合計、およびである他のものの合計として書くことができます。関数の積との関数。これは、明らかにパラメーターのみまたはデータのみに依存する要因を無視することを意味します。この場合には、それは明らかだにのみ依存し、我々はそれを無視することができるので、。 $f$ $a$ $y$ $a$ $y$ $\frac{4}{1+4a}$ $a$

問題はます。私たちはそこに存在することができないことを証明する必要がある「素敵」機能とようにプラスの一部の機能のみを加えた他のいくつかの機能のみ。その「プラス」の部分は煩わしいですが、最初に（関数の導関数のみの導関数はゼロになります）を微分し、次に（関数の導関数の導関数はゼロになります）を微分することでそれ打ち消すことができます。ゼロ）。両側を否定すると（左側を正にするため）、これにより $y+a$ $\eta$ $T$ $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$ $a$ $y$ $a$ $y$ $y$ $a$

- \frac{\partial^{2}}{\partial a \partial y} ログ （ y + a ） = \frac{1}{（ a + y ）^{2}} = - η^{』} （ a ） T^{』} （ y ） 。

$-\frac{\partial^2}{\partial a\partial y}\log(y+a) = \frac{1}{(a+y)^2} = -\eta'(a)T'(y).$

右辺を単純化するために対数を取りたいと思います（左辺と等しいため、常に正です）。とが両方とも連続的であると仮定すると、とにとまたはいずれかの値の間隔があることが保証されますおよび。これは、実際に右側を2つの正の因数に分割して、対数を適用できることを意味します。そうすることで $\eta'$ $T'$ $a$ $y$ $-\eta'(a)\gt 0$ $T'(y)\gt 0$ $\eta'(a)\gt 0$ $-T'(y)\gt 0$

- 2 ログ （ a + y ） = ログ \frac{1}{（ a + y ）^{2}} = ログ （ - η^{』} （ a ） T^{』} （ y ） ） = ログ （ - η^{』} （ a ） ） + ログ （ T^{』} （ y ） ）

$-2\log(a+y) = \log\frac{1}{(a+y)^2} = \log\left(-\eta'(a)T'(y)\right) = \log(-\eta'(a)) + \log(T'(y))$

（または、いくつかのマイナス記号がスローされた同等の式）。これで同じゲームをプレイします。どちらの場合でも、と両方利回りに関して両側を区別します $a$ $y$

\frac{2}{（ a + y ）^{2}} = 0 、

$\frac{2}{(a+y)^2} = 0,$

不可能。

振り返ってみると、このアプローチでは、と両方に、引数のいくつかの区間内に2次導関数があると仮定する必要がありました。分析は、これらの仮定を弱めるために有限差分を使用して同じ線に沿って行うことができますが、それはおそらく気にする価値はありません。 $\eta$ $T$

— whuber
ソース

私の記法はWikipediaの記法です。Wikipediaにも、指数ファミリを識別するための一連のルールがリストされています。。ここに示す方法は、これらのルールを正当化するために使用できます。

— whuber

美しい分析; 混合二次偏微分の使用は、関数が少なくとも特定の形式（これも同様の分離を含む）で「ノモグラム可能」かどうかをチェックする基準を幾分思い出させます。

— Glen_b-2013

@Glen_bに感謝します。また、双方向テーブルの相互作用の分析を連想させる以上のものです。それは有限差分バージョンです。;-)

— whuber

はい; これも、ノモグラムを操作する際に利用した接続です。

— Glen_b-2013

@whuberご説明ありがとうございます。しかし、なぜ私たちは偏微分を取り、再び対数を取るのか理解するのに苦労しています。これは常にaに依存するyのインジケーター関数を定義することで解決できる可能性はありますか？

— user30438 2013年

（別の条件で）記述できる場合、指数ファミリーになります。 $fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$

ましょう。ここで、サンプルスペース内の4つのデータポイントについて =、ηはありません。 $g(x,η)=ηT(x)-A(η)$ $x_1,x_2,x_3,x_4$ $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$

ここで、 =です。取る。 $f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$ $4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$ $g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$

したがって、 = -これにはaが含まれています。したがって、は指数ファミリーに属していません。 $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$ $\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$ $f(y;a)$

— ムリガンカ・アウリア
ソース

+1私は簡単なアプローチが好きです。これは、有限差分を使用して主要な動作を分離する方法を明確に示しています。

f

$f$

— whuber