相関係数の式を理解する方法は？

ピアソン相関式の理解を助けてくれる人はいますか？サンプル$r$ =変数$X$および標準スコアの積の平均$Y$。

$X$とを標準化する必要がある理由$Y$を理解していますが、zスコアの両方の積を理解する方法はありますか？

この式は「製品モーメント相関係数」とも呼ばれますが、製品アクションの根拠は何ですか？質問を明確にしたかどうかはわかりませんが、式を直感的に覚えておきたいだけです。

コメントでは、相関係数を理解する15の方法が提案されました。

• 「相関係数を調べる13の方法」（Rodgers＆Nicewander 1988）
• 共分散経由
• サークル経由

Rodgers and Nicewanderの記事（The American Statistician、1988年2月）で議論されている13の方法は、

1. 生のスコアと平均の機能、

   $$r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$$

2. 標準化された共分散、

   $$r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$$

   ここで、は標本共分散であり、s Xおよびs Yは標本標準偏差です。$s_{XY}$$s_X$$s_Y$

3. 回帰直線の標準化された勾配、

   $$r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$$

   ここで、およびbはX ⋅ Yは、回帰直線の傾きです。$b_{Y\cdot X}$$b_{X \cdot Y}$

4. 2つの回帰スロープの幾何平均、

   $$r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$$

5. 2つの分散の比率の平方根（考慮される変動の割合）、

   $$r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$$

6. 標準化された変数の平均外積、

   $$r = \sum z_X z_Y / N.$$

7. 2つの標準化された回帰直線間の角度の関数。対XおよびX対Yの2つの回帰直線は、対角線に関して対称です。2本の線の間の角度をβとします。それから$Y$$X$$X$$Y$$\beta$

   $$r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$$

8. 2つの可変ベクトル間の角度の関数、

   $$r = \cos(\alpha).$$

9. 標準化されたスコア間の差の再スケーリングされた分散。まかせ標準化との間の差である$z_Y - z_X$$X$$Y$

   $$r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$$

10. 「バルーン」ルールから推定、

    $$r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$$

    $H$ is the vertical range of the entire $X-Y$ scatterplot and $h$ is the range through the "center of the distribution on the $X$ axis" (that is, through the point of means).

11. In Relation to the Bivariate Ellipses of Isoconcentration,

    $$r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$$

    where $D$ and $d$ are the major and minor axis lengths, respectively. $r$ also equals the slope of the tangent line of an isocontour (in standardized coordinates) at the point the contour crosses the vertical axis.

12. A Function of Test Statistics from Designed Experiments,

    $$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$$

    where $t$ is the test statistic in a two-independent sample $t$ test for a designed experiment with two treatment conditions (coded as $X=0, 1$) and $n$ is the combined total number of observations in the two treatment groups.

13. The Ratio of Two Means. Assume bivariate normality and standardize the variables. Select some arbitrarily large value $X_c$ of $X$. Then

    $$r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$$

(Most of this is verbatim, with very slight changes in some of the notation.)

Some other methods (perhaps original to this site) are

• Via circles. $r$ is the slope of the regression line in standardized coordinates. This line can be characterized in various ways, including geometric ones, such as minimizing the total area of circles drawn between the line and the data points in a scatterplot.

• By coloring rectangles. Covariance can be assessed by coloring rectangles in a scatterplot (that is, by summing signed areas of rectangles). When the scatterplot is standardized, the net amount of color--the total signed error--is $r$.