多変量ベルヌーリ分布の確率式

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Iはn変量ベルヌーイ分布のイベントの確率の式が必要所与と単一の要素および要素のペアの確率。同様に、平均と共分散を与えることができます。 $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

私はすでに多く存在することを知っ、所与の平均および共分散を有する多くのディストリビューションが存在する同じような特性を有する分布。私は、上の正規のいずれかの楽しみにしているガウスの正規分布であると同様に、、与えられた平均と共分散。 $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
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値を取る確率変数離散的な確率変数です。その分布は完全に確率によって記述される用いて。指定する確率およびは、特定のインデックス合計です。 $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

今、あなたが説明したいと思われのみ使用することによりおよび。特定のプロパティを仮定しないと不可能です。それを確認するには、特性関数を導出してください。我々が取る場合、我々が得ます $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

この式を並べ替えて、

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$ 消える。ガウス確率変数の場合、特性関数は平均および共分散パラメーターのみに依存します。特性関数は分布を一意に定義するため、平均と共分散のみを使用してガウス分布を一意に記述することができます。ランダム変数

の場合、これは当てはまりません。

X

$X$

— mpiktas
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次のペーパーを参照してください。

JL Teugels、多変量ベルヌーイおよび二項分布のいくつかの表現、Journal of Multivariate Analysis、vol。32、いいえ。2、1990年2月、256〜268。

以下に要約を示します。

ベルヌーイ分布および二項分布の多変量だがベクトル化されたバージョンは、行列計算からのクロネッカー積の概念を使用して確立されます。多変量ベルヌーイ分布には、パラメーター化されたモデルが必要です。これは、バイナリ変数の従来の対数線形モデルに代わるものです。

— ハメド
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それを共有してくれてありがとう、ハメド。当サイトへようこそ！

— whuber

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結果の分布が何と呼ばれているのか、名前が付いているのかどうかはわかりませんが、これを設定する明白な方法は、2×2×2×をモデル化するために使用するモデルを考えることです…対数線形（ポアソン回帰）モデルを使用した×2表。1次の相互作用のみを知っているので、すべての高次の相互作用がゼロであると仮定するのは自然です。

質問者の表記法を使用すると、次のモデルが得られます

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— ワンストップ
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p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

@whuberまったく正しい！私は最初のパラで設定したモデルに固執しますが、私の方程式はいくつかの方法で台無しにされました...私は実際にMSc以来コンティンジェンシーテーブルの対数線形モデリングを使用していないことを示しますメモや本を手に入れました。私は今でもそれを修正したと信じています。同意したら教えてください！遅延の極。ある日、私の脳は代数をしません。

— ワンストップ

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p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$