データの不確実性に基づいて線形回帰勾配の不確実性を計算する

データの不確実性に基づいて線形回帰勾配の不確実性を計算する方法（おそらくExcel / Mathematicaで）？

例： データポイント（0,0）、（1,2）、（2,4）、（3,6）、（4,8）、...（8、16）がありますが、各y値には不確実性は4です。点が関数y = 2xと完全に一致するため、私が見つけたほとんどの関数は不確実性を0として計算します。ただし、図に示すように、y = x / 2は点にも一致します。これは誇張された例ですが、私が必要としているものを示していることを願っています。

編集：もう少し説明しようとすると、例のすべての点に特定の値のyがありますが、それが本当かどうかはわかりません。たとえば、最初のポイント（0,0）は、実際には（0,6）または（0、-6）またはその間の任意の値になります。これを考慮に入れる一般的な問題のいずれかにアルゴリズムがあるかどうかを尋ねています。この例では、点（0,6）、（1,6.5）、（2,7）、（3,7.5）、（4,8）、...（8、10）は依然として不確かさの範囲にあります。したがって、これらは正しい点である可能性があり、それらの点を結ぶ線は方程式y = x / 2 + 6を持ちますが、不確実性を考慮しないことから得られる方程式は方程式y = 2x + 0を持ちます。したがって、kの不確実性は1.5で、nは6です。

TL; DR：図には、最小二乗法を使用して計算されたy = 2xの線があり、データに完全に適合しています。私はy = kx + nのkとnがどれだけ変化するかを見つけようとしていますが、y値の不確実性がわかっている場合でもデータに適合します。私の例では、kの不確実性は1.5で、nは6です。画像には、「最適な」フィット線と、ポイントにほとんどフィットしない線があります。

$k$$n$$y = k x + n$$y$

$y$$100(1-\alpha)$$(k,n)$$\sum (k x_i + n - y_i)^2/\sigma_i^2 < \chi_{d,\alpha}^2$$\sigma_i$$y_i$$d$$(x,y)$$\chi_{d,\alpha}^2$$\alpha$$d$

$y_i$$y_i$$(k,n)$$204 (k-2)^2 + 72n(k-2) + 9n^2 = 152.271$

Pythonでこの単純なコードを使用して、単純な直接サンプリングを行いました。

import random
import numpy as np
import pylab
def uncreg(x, y, xu, yu, N=100000):
    out = np.zeros((N, 2))
    for n in xrange(N):
        tx = [s+random.uniform(-xu, xu) for s in x]
        ty = [s+random.uniform(-yu, yu) for s in y]
        a, b = np.linalg.lstsq(np.vstack([tx, np.ones(len(x))]).T, ty)[0]
        out[n, 0:2] = [a, b]
    return out
if __name__ == "__main__":
    P = uncreg(np.arange(0, 8.01), np.arange(0, 16.01, 2), 0.1, 6.)
    H, xedges, yedges = np.histogram2d(P[:, 0], P[:, 1], bins=(50, 50))
    pylab.imshow(H, interpolation='nearest', origin='low', aspect='auto',
                 extent=[xedges[0], xedges[-1], yedges[0], yedges[-1]])

そしてこれを得た：

もちろん、必要なPデータをマイニングしたり、不確実性分布を変更したりできます。

私は以前同じ狩りをしていたので、これは出発点として役立つかもしれないと思います。excelマクロ関数は、表形式の点に基づいた線形フィット項とその不確実性、および両方の縦座標の各点の不確実性を提供します。多分それが基づいている紙を調べて、それを別の環境で実装したり、変更したりするかどうかを決定します。マクロがどのように注釈されているかを確認するために開いていません。