分布には名前がありますか？

先日、この密度に出くわしました。誰かがこれに名前を付けましたか？

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

密度は原点で無限で、太い尾もあります。多くの観測値が小さいと予想される状況で、事前に分布として使用されるのを見ましたが、大きな値も予想されていました。

distributions probability

好奇心から、これを最初に見たソースの引用を得ましたか？

— JMS

JMS：「疎信号の馬蹄形推定器」、Carvalho、Polson、およびScott。私はそれをプレプリントと見ていましたが、今ではBiometrikaで公開されているかもしれません。彼らはこの事前分布を正確に使用していませんが、上記の密度は、事前分布の特別な場合の近似値です。

— ジョンD.クック

それは公表されています：dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017を。

— ファビアン

どの特別なケースに近似していますか？私はそれを読みましたが、実際にあなたの表現を論文で与えられた表現に関連付けることはできません...？

— ファビアン

@fabians：私が念頭に置いたケースは、定理1のsigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1でした。馬蹄の密度は、log（1 + c / x ^ 2）の倍数によって上下に制限されます。それで、おそらく私が上で述べた分布は、近似よりも馬蹄形の密度を単純化したものです。

— ジョンD.クック

回答:

実際、最初の瞬間さえ存在しません。この分布のCDFは、

F （ バツ ） = 1 / 2 + （ アークタン （ バツ ） - バツ ログ （ 罪 （ アークタン （ バツ ） ） ） ） / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

用と、対称性によって、のための。これも明白な変換も私には馴染みがないようです。（基本関数の観点からCDFの閉じた形式を取得できるという事実は、すでに可能性を厳しく制限していますが、この閉じた形式のやや不明瞭で複雑な性質により、標準の分布またはべき/ log /指数/ trig変換のもちろん、アークタンジェントは、Cauchy（Student）分布のCDFであり、このCDFをCauchy分布の（実質的に）乱れたバージョンとして示しています（赤のダッシュで表示）。 $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

ここに画像の説明を入力してください

— ウーバー
ソース

@whuber、であることに注意してください。これは、pdfのフォームにより近いcdfのフォームに関連しています。。また、このpdfが標準のCauchyのpdfの半分に近いことに注意することも興味深いです。だから、その使用のための主な理由は、0の周りにその動作のためにあることを持っているように見えるだろう

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— カーディナル

@whuber、閉じたフォーム（ヒント：Louiville）を持つcdfについてのあなたの声明に関してあなたがどこから来ていると思いますが、私はその発言に注意を促します。コーシー分布自体は、その点で「反例」です。

— 枢機

@cardinalコーシー分布についてのあなたの発言のポイントがわかりません。CDFの形式は、検索を絞り込むためのヒューリスティックとして、および検索のターゲットとしてのみ使用しています。変数が変換されると、CDFがどのように変化するかを簡単に確認できるため、CDFはPDFよりも少し便利です。そして、はい、あなたが指摘した関係は明確ですが、他の用語にアークタンジェントが存在するため、この形式でCDFを書くことにしました（置換x = tan（u）を示唆します）。

— whuber

@whuber、おそらく、推測するよりも明確化を求めた方がましだっただろう。閉形式の累積分布関数は可能性を厳しく制限しているというコメントについて、あなたは何を言いましたか？

— 枢機

@cardinal 名前付き（またはこれまでに研究された）分布と、がcdf iffであるような比較的単純な再表現（累乗または対数など）を見つけるという意味で幅広い検索を実行していますはpdfます。分布が以前に研究されている場合、そのCDFが取得されている可能性が高く、閉じた形式で記述できる場合は、その形式も公開されています。したがって、でように見える関数形式を探すだけで済みます。知ってる？

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— whuber

おそらくない。

このかなり広範なディストリビューションのリストにはありませんでした。

LeemisとMcQuestion 2008の単変量分布関係。アメリカ統計学者 62（1）45:53

— 安倍
ソース