二項分布関数が制限ポアソン分布関数より上/下にあるのはいつですか？

ましょパラメータを持つ二項分布関数（DF）を示しとで評価：および、パラメーター評価されたポアソンDFを表し、評価され： $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

検討 $p \rightarrow 0$ 、およびlet $n$ として定義することが $\lceil a/p-d \rceil$ 、ここで $d$ 程度の定数である $1$ 。以来 $np \rightarrow a$ 、関数 $B(n,p,r)$ に収束 $F(a,r)$ すべてのため $r$ 、同様に知られています。

以下のための上記定義と $n$ 、Iは、の値を決定する際に興味対象のを、および同様に私は最初の不等式が成り立つことを証明することができたよりも十分に小さい。より具体的にするための特定のバウンドより低いと、。同様に、第二の不等式が成立するために比べて十分に大きいのために、すなわち、 $a$

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$

a

$a$

r

$r$

a

$a$

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ 特定のバウンドを超える

h (r)

$h(r)$ と、

h (r) > r

$h(r)>r$ 。（境界の式

g (r)

$g(r)$ 及び

h (r)

$h(r)$ ここでは無関係である。私が興味のある人に詳細を提供します。）ただし、計算結果は、これらの不等式がそれほど厳しく境界のために保持することを示唆し、それがために、ある近いです私が証明できるよりも

。

a

$a$

r

$r$

したがって、どの条件の下で各不等式が成立するかを確立する定理または結果があるかどうかを知りたいです（すべての $p$ ）。つまり、二項DFがその制限ポアソンDFを上回る/下回ることが保証されている場合です。そのような定理が存在しない場合、正しい方向のアイデアやポインタがあれば評価されます。

不完全なベータ関数とガンマ関数で表現された同様の質問がmath.stackexchange.com に投稿されましたが、回答がありませんでした。

— ルイス・メンドー
ソース

これは興味深い質問ですが、特に「可動部分」と「そうでない部分」を明確にすることは役立つと思います。固定ごとにを一様に保持する境界が必要なようです。しかし、ここでのの役割は何ですか？それほど重要ではありませんが、導入は必要ですか？1つのアプローチは、ポアソンプロセスの待機時間の観点から物事を見て、それらを二項確率変数の関連する幾何学的待機時間に結合することです（それぞれの上限を取ることにより）。しかし、それはあなたが求めている均一な境界をもたらさないかもしれません。

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— 枢機

@cardinalお時間をいただきありがとうございます。はい、境界をpで均一にする必要があります。他のすべてのパラメーターは固定されています（選択可能）。は、そのような無料のパラメーターの1つです。たとえば、1つの仮説の結果は次のようになります。「より大きい自然および場合、最初の不等式はすべてのおよびすべてのと、第2の全てに当てはまる、すべてのために。

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— ルイスMendo

ポアソンrvを使用して不要な独立ベルヌーイ変数の合計を推定するときにエラーを推定するシュタインチェン理論があります。あなたの質問についてはわかりません。

— Lost1 14年

有限の、二項分布は上からのサポートを閉じています。サイズは（選択することで）選択可能ですが、閉じられています。一方、ポアソン分布には無制限のサポートがあります。我々は任意の有限のため、CDFのを見ているので、、我々は常に持っています任意の許容値については。したがって、OPの2番目の不等式の条件には、少なくとも「for ...」が含まれます

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— アレコスパパドプロ14

：参照は、ここでの答えでしたmath.stackexchange.com/questions/37018/...

— アレックスR.

以下に関して：

二項分布の平均は $np$
分散は $np(1-p)$
ポアソン分布の平均はであり、として想像できます。 $\lambda$ $n\times p$
ポアソンの分散は平均と同じです

今、ポアソンのパラメータを持つ二項の限界であれば及びように、無限大とに増加彼らの製品は、その前提として、一定のままでゼロに減少及びそれぞれの限界に収束されないが、式は常によりも大きいため、二項分布の分散はポアソンの分散よりも小さくなります。これは、二項式が尾の下にあり、他の場所にあることを意味します。 $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— ゲルマニアワークス
ソース

ご協力いただき、ありがとうございます。（1）OPはPDFではなくCDFに関心があるため、質問の解決に失敗したようです。（2）彼は定量的な答えを求めます。

— whuber