ポアソンGLMが非整数の数値を受け入れることはどのように可能ですか？

ポアソンGLMが整数以外の数値を受け入れるという事実に本当に驚かされます！見て：

データ（の内容data.txt）：

1   2001    0.25  1
1   2002    0.5   1
1   2003    1     1
2   2001    0.25  1
2   2002    0.5   1
2   2003    1     1

Rスクリプト：

t        <- read.table("data.txt")
names(t) <- c('site', 'year', 'count', 'weight')
tm       <- glm(count ~ 0 + as.factor(site) + as.factor(year), data = t, 
                family = "quasipoisson")  # also works with family="poisson"
years    <- 2001:2003
plot(years, exp(c(0, tail(coef(tm), length(years)-1))), type = "l")

結果として得られる年のインデックスは、「予想」通り、つまり1-2-4年単位2001-2003です。

しかし、ポアソンGLMが非整数の数値を取ることはどのように可能ですか？ポアソン分布は常に整数のみです！

もちろん、ポアソン分布が整数に対してのみ技術的に定義されていることは正しいです。ただし、統計モデリングは優れた近似の技術であり（「すべてのモデルが間違っている」）、整数でないデータをポアソンであるかのように扱うことが理にかなっている場合があります。

たとえば、同じカウントデータを記録するために2人のオブザーバーを送信した場合、2人のオブザーバーが常にカウントに同意するとは限らないことがあります-1つは何かが3回起こったと言う一方で、もう1つはそれが4回起こったと言うかもしれません。3から4を選択する代わりに、ポアソン係数をフィッティングするときに3.5を使用するオプションがあると便利です。

計算上、ポアソンの階乗は非整数を扱うのを困難に思えるかもしれませんが、階乗の継続的な一般化が存在します。さらに、式を単純化すると、ポアソンの最尤推定の実行には階乗関数も含まれません。

応答に対して、期待値の対数が予測子の線形結合であると仮定した場合 およびその分散は期待値に等しい その後、回帰係数の一貫した推定値は、ポアソンモデルのスコア方程式を解くことで取得できます。 もちろん、一貫性はテストや信頼区間の妥当性を意味するものではありません。尤度は指定されていません。$y$$\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}\vec{x}$

$$\operatorname{E}Y_i=\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}$$ $$\operatorname{Var}Y_i=\operatorname{E}Y_i$$ $\vec\beta$ $$\sum_i^n{\vec{x}_i\left(y_i-\exp{\vec\beta^{\mathrm{T}}\vec{x}_i}\right)}=0$$

これは、私たちが学校で学んだモーメント法アプローチに続き、一般化された推定方程式のアプローチにつながります。

@Aaronは、実際にはコードに準ポアソン近似を使用していると指摘しました。つまり、分散は平均に比例します

$$\operatorname{Var}Y_i=\phi\operatorname{E}Y_i$$

データから推定できる分散パラメータを使用します。係数の推定値は同じになりますが、標準誤差は大きくなります。これはより柔軟であり、したがってより一般的に有用なアプローチです。（パラメータの分散-共分散行列のサンドイッチ推定器は、これらの種類の状況で堅牢な標準誤差を与えるためにしばしば使用されることにも注意してください。）$\phi$