因果関係の数学的定義

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ましょうおよび、ランダムな変数です。の条件付き平均である与えられた。私たちは言う因果に関連していない場合に依存しないそれはに等しい意味し、。さて、因果関係のこの定義に少し触れましょう。反復期待の法則により、です。これは、がに依存しない場合、それが等しい場合、ことを意味します。 $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $X$ $E(Y)$ $E(XE(Y|X)) = E(E(XY|X)) = E(XY)$ $E(Y|X)$ $X$ $E(Y)$ $E(X)E(Y) = E(XY)$

言い換えると：

とが因果関係がない場合、とは無相関です！-これは意味がなく、私はこれが間違っているに違いないことを知っています。因果関係を誤って定義しましたか？何が悪いのでしょうか？ $X$ $Y$ $X$ $Y$

計量経済学では、一般的にます。したがって、はと同等です。ロジックはこの特定のシナリオにも適用されます。 $E(Y|X) = b_0 + b_1X$ $E(Y|X) = E(Y)$ $b_1 = 0$

econometrics causality conditional-expectation

— キリスト教徒
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と言いました。これは間違いだと思います。E（Y | X）は定数です。したがって、はと等しくなります。別の点として、は単純な線形回帰モデルに由来します。

E (X E (Y | X)) = E (E (X Y | X)) = E (X Y)

$E(XE(Y|X))=E(E(XY|X))=E(XY)$

E (X E (Y | X))

$E(XE(Y|X))$

E (Y | X) E (X)

$E(Y|X)E(X)$

E (Y | X) = b 0 + b 1 * X

$E(Y|X)=b0+b1*X$

— ブダペスト2013

E（Y | X）= bとします。bは定数です。次に、双方の期待を受け入れます。E（E（Y | X））= E（b）= bであることがわかります。反復期待値の法則により、E（E（Y | X））= E（Y）。したがって、E（Y | X）が定数の場合、E（Y）と等しくなければなりません。

— クリスチャン

E（Y / X）= bの場合、これはYがXに依存しないことを意味し、E（Y）= bの場合は混乱します。

— SAAN

なぜ「これは意味がない」のか分かりません。あなたは因果関係の定義から始めます。それは統計学における独立性の定義と同等だと私は思います。独立変数の共分散はゼロですが、ストーリーはどこにありますか？

— 年

1月、いいえ、同じではありません！XとYは、マージナル係数がマージナルの積に含まれる場合、独立しており、これは間違いなく同じものではありません。あなたの言いたいことがわかりませんか？Azeemは、私が以前言ったことを言い換える以外に、何か貢献することはありますか？私が間違っていると言うのではなく、なぜ私が間違っているのか説明できますか？

— クリスチャン

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因果関係を誤って定義しました、はい。「相関は因果関係ではない」という言葉を聞いたことがあるでしょう。因果関係を本質的に相関として定義しました。しかし、問題はそれよりも悪いです。因果関係は、少なくともこれらのトピックが通常教えられているように、統計的または確率的な概念ではありません。因果関係の統計的または確率的定義はありません。条件付き期待や条件付き分布などは含まれません。しかし、統計学や計量経済学のコースからこの事実を理解するのは難しい。

残念ながら、私たちは因果関係が何であるかよりも因果関係が何でないかを言ってより良い仕事をする傾向があります。因果関係は常に、どこにでも、理論から、アプリオリな推論から、仮定から来ます。あなたは計量経済学について言及しました。器用な変数を適切に教えられている場合、因果効果は「除外制限」がある場合にのみ測定できることがわかります。また、除外制限は常に理論に基づいていることがわかります。

あなたは数学が欲しいと言ったけど。読みたい人はジュデアパールです。それは簡単な数学ではなく、数学は時々哲学に迷い込むことがありますが、それは因果律が難しい主題だからです。これは、この件に関するより多くのリンクを含むページです。これは私がたまたま見つけた無料のオンラインブックです。最後に、これは前の質問ですが、あなたが役に立つと思うかもしれない答えを私が与えました。

— ビル
ソース

誠にありがとうございます。私は彼の仕事を読み、時間があるときにあなたに連絡します。

— クリスチャン

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すばらしい答えです。モルガン＆ウィンシップ本は、社会科学の問題に焦点を当てた、パールよりもかなり簡単です。

— Dimitriy V.Masterov

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私たちは言う因果に関連していない場合に依存しないそれはに等しい意味し、。 $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $X$ $E(Y)$

これは間違っています。因果関係は、機能的/構造的依存関係に関するものであり、統計的/関連的依存関係に関するものではありません。ここを見てください。

因果関係を誤って定義しましたか？何が悪いのでしょうか？

はい、あなたはそれを正しく定義していません。因果推論の本/参照をここで確認できます。より正式には、構造方程式モデルでは、の分布に対するの因果的効果は、表すことができます---つまり、変更がの分布にどのように影響するか---は、の方程式が置き換えられた修正構造方程式モデルによって引き起こされる確率分布として数学的に定義されます。 $X$ $Y$ $P(Y|do(X = x))$ $X$ $Y$ $X$ $X = x$

たとえば、因果モデルが次の構造方程式で定義されているとします。

U = ϵ_{u} X = f (U, ϵ_{x}) Y = g (X, U, ϵ_{y})

$U = \epsilon_u\\ X = f(U, \epsilon_x)\\ Y = g(X,U, \epsilon_y)$

外乱が相互に独立していて、確率分布がある場合。これはDAGに対応します。

$\hskip2in$

次に、は、変更された構造方程式によって引き起こされるの確率分布です。 $P(Y|do(X = x))$ $Y$

U = ϵ_{u} X = x Y = g (X, U, ϵ_{y})

$U = \epsilon_u\\ X = x\\ Y = g(X, U, \epsilon_y)$

これは、切断されたDAGに対応します。

$\hskip2in$

平均因果効果は、因果的累積分布関数を使用したの期待値です。 $Y$ $P(Y|do(X=x))$

E [Y | d o (X = x)] = \int Y d P (Y | d o (X = x))

$E[Y|do(X =x)] = \int Y dP(Y|do(X = x))$

これは数学的な定義であり、観測データで効果を識別できるかどうかは、演算子なしの観測分布に関してを再表現できるかどうかに依存します。 $P(Y|do(X=x))$ $do()$

— カルロスシネリ
ソース

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反例

問題は、それが独立性を意味するようではないようです（）は、とが無相関であることを意味します。場合はと相関していない、彼らが平均独立していることが一般的に真実ではありません。したがって、これは今のところ問題になっているようには見えません。 $E[Y|X] = E[Y]$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

ただし、として定義された関係（因果関係と呼ぶことができる）があるとします。ここで、は標準正規分布で分布し、はRademacher分布で分布しているため、または、それぞれに確率があります。（このWikipediaの記事を参照してください）。次に、。あなたの定義では、この関係はあっても原因ではない $Y = WX$ $X$ $W$ $W = 1$ $-1$ $1/2$ $E[Y|X] = E[Y]$ $Y$ 明らかにに依存します。 $X$

因果関係についての正式な考え方の例

因果関係を調べるためのより明確でより数学的な方法を提供するには、次の例を参考にしてください。（この例は「ほとんど無害な計量経済学」の本から借りています。）入院の健康への影響を分析したいとします。定義個々のいくつかの健康上の尺度としておよびその個体を入院したかどうかを示します。私たちの最初の試みで、私たちは、個人の2種類の健康状態の平均差を見ているとします。 $Y_i$ $i$ $D_i \in \{0,1\}$ データを最初に見ると、入院している人は実際に入院していない人よりも健康状態が悪いことに直観的に反することがわかります。しかし、病院に行くことは確かに人々を病気にすることはありません。むしろ、選択バイアスがあります。病院に行く人は健康状態が悪い人です。したがって、この最初の対策は機能しません。どうして？観察された違いだけではなく、潜在的な違いに関心があるからです（反事実の世界で何が起こるかを知りたいのです）。

E [Y_{i} | D_{i} = 1] - E [Y_{i} | D_{i} = 0] .

$E[Y_i | D_i=1] - E[Y_i|D_i=0].$

Potential Outcome = {\begin{cases} Y_{1, i} & if D_{i} = 1 \\ Y_{0, i} & if D_{i} = 0. \end{cases}

$\text{Potential Outcome} = \left \{ \begin{array}{ll} Y_{1,i} & \text{if } D_i = 1 \\ Y_{0,i} & \text{if } D_i = 0. \end{array} \right .$

Y_{0, i}

$Y_{0,i}$

i

$i$

Y_{1, i}

$Y_{1,i}$

Y_{i} = {\begin{cases} Y_{1, i} & if D_{i} = 1 \\ Y_{0, i} & if D_{i} = 0. \end{cases}

$Y_i = \left \{ \begin{array}{ll} Y_{1,i} & \text{if } D_i = 1 \\ Y_{0,i} & \text{if } D_i = 0. \end{array} \right.$

Y_{i} = Y_{0, i} + (Y_{1, i} - Y_{0, i}) D_{i}

$Y_i = Y_{0,i} + (Y_{1,i} - Y_{0,i}) D_i$

Y_{1, i} - Y_{0, i}

$Y_{1,i} - Y_{0,i}$

\begin{aligned} E [Y_{i} | D_{i} = 1] - E [Y_{i} | D_{i} = 0] & = E [Y_{1, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] \\ + E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 0] . \end{aligned}

$\begin{align*} E[Y_i | D_i=1] - E[Y_i|D_i=0] &= E[Y_{1,i}|D_i = 1] - E[Y_{0,i}|D_i = 1] \\ & \qquad + E[Y_{0,i}|D_i=1] - E[Y_{0,i}|D_i=0]. \end{align*}$

E [Y_{1, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 1]

$E[Y_{1,i}|D_i = 1] - E[Y_{0,i}|D_i = 1]$

E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 0]

$E[Y_{0,i}|D_i=1] - E[Y_{0,i}|D_i=0]$

D_{i}

$D_i$

\begin{aligned} E [Y_{i} | D_{i} = 1] - E [Y_{i} | D_{i} = 0] & = E [Y_{1, i} | D_{i}] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 0] \\ = E [Y_{1, i} | D_{i}] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] \\ = E [Y_{1, i} - Y_{0, i} | D_{i} = 1] \\ = E [Y_{1, i} - Y_{0, i}], \end{aligned}

$\begin{align*} E[Y_i | D_i=1] - E[Y_i|D_i=0] &= E[Y_{1,i}|D_i] - E[Y_{0,i}|D_i=0] \\ &= E[Y_{1,i}|D_i] - E[Y_{0,i}|D_i=1] \\ &= E[Y_{1,i} - Y_{0,i}|D_i=1] \\ &= E[Y_{1,i} - Y_{0,i}], \end{align*}$

E [Y_{1, i} - Y_{0, i}]

$E[Y_{1,i} - Y_{0,i}]$

— jmbejara
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$E()$ $E(Y|X) = E(Y)$ $E(X\cdot Y) = E( X )\cdot E( Y )$

しかし、どこに問題があるのかわかりませんか？

$X$ $Y$
$X$ $Y$

例：次の表を検討してください：

     Y
 X | -1      0      1
 --+---------------------
-1 | 0.25    0     0.25
 1 |   0    0.5      0

$P(X=1 \wedge Y=0) = 0.5$

$E(Y) = E(X) = E(X \cdot Y) = 0$ $E(Y|X=-1)=E(Y|X=1)=0$ $E(Y|X)=E(X)$

$E(X\cdot Y) = E(X)\cdot E(Y)$

$P(X = 1 \wedge Y = 0 ) = 0.5 \ne 0.5 \cdot 0.5 = P(X=1)\cdot P(Y=0)$

— 1月
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