厳密なフォンノイマン不等式の例

ましょう$r(\pi, \delta)$推定器の示すベイズリスク$\delta$前に対して$\pi$せ、$\Pi$パラメータ空間上のすべての事前確率のセット表す$\Theta$、およびlet $\Delta$（おそらくはランダム化）全ての集合を示す決定ルール。

ジョン・フォン・ノイマンのミニマックス不等式の統計的解釈は、

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

と両方が有限である場合、一部のとに対して厳密な等価性が保証されます。$\delta'$$\pi'$$\Theta$$\Delta$

不平等が厳格な具体的な例を誰かが提供できますか？

厳密なフォンノイマン不等式の例は、リスク関数がいくつかの値r 0 < r 1（前者の値は「低」、後者は「高」）について以下の条件を満たす場合に発生します。$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

第1の条件は関係なく、前の、低リスクと決定規則常に存在することを言い与え、SUP π ∈ Π INF δ ∈ Δ R （π 、δ ）= R 0。第2の条件は関係なく、決定規則のいくつかの従来与えるリスクの高い常にあることを述べているR 1与え、INF π ∈ Π SUP δ ∈ Δ R （π 、δ ）= R 1が。$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

この状況を説明する別の方法は、すべての事前の低リスクを保証する決定ルール（事前を参照する前に選択）がないことです（場合によってはリスクが高いこともあります）が、事前にはすべての決定ルールがあります（確認後に選択します）事前）低リスクを保証します。言い換えれば、リスクに下限を課すために、決定規則を事前に適合させる必要があります。

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例：このような状況の簡単な例では、許容事前分布のペアを持っている場合に発生するおよび許容決定ルールのペアがδ 0、δ 1を、このようなリスクマトリックスと：$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

この場合、両方の事前分布に対して低リスクを保証する決定ルールはありませんが、各事前分布には低リスクの決定ルールがあります。この状況は、フォンノイマン不等式の厳密な不等式を与える上記の条件を満たします。