ARMA（2,1）プロセスの自己共分散-解析モデルの導出

次のように示されるARMA（2,1）プロセスの自己共分散関数の分析式を導出する必要があります。$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

だから、私はそれを知っています：

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

だから私は書くことができます：

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

次に、自己共分散関数の分析バージョンを導出するには、ある整数より大きいすべてのに対して有効な再帰が得られるまで、 -0、1、2 ...の値を代入する必要があります。$k$$k$

したがって、を代入し、これを実行して以下を取得します。$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

これで、これらの用語の最初の2つを単純化して、前と同じように置き換えることができます。$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

次に、次の8つの用語を乗算します。

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

したがって、残りの4つの条件を解決する必要があります。4行目と7行目で使用したのと同じロジックを1行目、2行目、5行目、6行目で使用したい-たとえば1行目：

$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$ため。$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

2行目、5行目、6行目も同様です。ただし、簡略化することを提案するモデルソリューションがあります。$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

これは、上記のように単純化すると、係数項がことを示唆しています。これは、ロジックでは0でなければなりません。ロジックに障害がありますか。$\phi_1$

解決策は、「類似」のが次のように見つかることも示唆しています。$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

および：$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

質問が明確であることを願っています。どんな援助も大歓迎です。前もって感謝します。

これは私の研究に関連した質問であり、試験やコースワークの準備中ではありません。

ARMAプロセスが原因である場合、自己共分散係数を提供する一般式があります。

因果的なプロセス ここでは平均ゼロと分散ホワイトノイズです。因果性により、プロセスはのように書くことができる 意味 -weightsを。$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

原因となるプロセス の自己共分散係数の一般的な同次方程式は、 初期条件付き $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

元の質問の計算の間違いは

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

期待値を分離することはできません -とは独立ではありません。$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

OK。だから、投稿を書くプロセスは実際に解決策を示しました。

上記の期待値1、2、5、および6を考えてみてください。

すぐに用語5- -および6-：これらの用語は間違いなくゼロ、$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$及び独立していると。$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

ただし、用語1と2は、期待値が2つの相関変数からなるように見えます。したがって、とを次のように考えてください。$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

リコール期間1 -。もしための発現我々乗算両側によって、次に期待を取ることが明らかであることを除いて右側にすべての用語最後になるゼロ（なぜならの値、、および$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$は、および独立してい）を与える：$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

したがって、用語1はます。ターム2については、同じロジックで、すべてのタームがゼロであることは明らかです。$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

したがって、元のモデルの答えは正しかった。

ただし、一般的な（面倒な場合でも）ソリューションを取得する別の方法を誰かが提案できる場合は、それを聞いて非常にうれしいです！