対数正規確率変数の相関

と正規確率変数に相関係数与えられている場合、次の対数正規乱数変数と間の相関関係を見つけるにはどうすればよいですか？ $X_1$ $X_2$ $\rho$ $Y_1$ $Y_2$

$Y_1 = a_1 \exp(\mu_1 T + \sqrt{T}X_1)$

$Y_2 = a_2 \exp(\mu_2 T + \sqrt{T}X_2)$

さて、あればおよび、および線形変換特性から、標準の法線は、我々が得ます： $X_1 = \sigma_1 Z_1$ $X_2 = \sigma_1 Z_2$ $Z_1$ $Z_2$

$Y_1 = a_1 \exp(\mu_1 T + \sqrt{T}\sigma_1 Z_1)$

$Y_2 = a_2 \exp(\mu_2 T + \sqrt{T}\sigma_2 (\rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2}Z_2)$

さて、ここからと間の相関を計算する方法は？ $Y_1$ $Y_2$

correlation random-variable lognormal

— user862
ソース

@ user862、ヒント：2変量正規の特性関数を使用します。

— mpiktas

stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/…の式（11）を参照してください（ただし、ひどい組版には注意してください）。

— whuber

私は仮定する及び。表す $X_1\sim N(0,\sigma_1^2)$ $X_2\sim N(0,\sigma_2^2)$ 。それから $Z_i=\exp(\sqrt{T}X_i)$

にある対数正規。かくして

\begin{aligned} \log (Z_{i}) \sim N (0, T σ_{i}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \log(Z_i)\sim N(0,T\sigma_i^2) \end{align}$

Z_{i}

$Z_i$

と

\begin{aligned} E Z_{i} & = \exp (\frac{T σ_{i}^{2}}{2}) \\ v a r (Z_{i}) & = (\exp (T σ_{i}^{2}) - 1) \exp (T σ_{i}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} EZ_i&=\exp\left(\frac{T\sigma_i^2}{2}\right)\\ var(Z_i)&=(\exp(T\sigma_i^2)-1)\exp(T\sigma_i^2) \end{align}$

\begin{aligned} E Y_{i} & = a_{i} \exp (μ_{i} T) E Z_{i} \\ v a r (Y_{i}) & = a_{i}^{2} \exp (2 μ_{i} T) v a r (Z_{i}) \end{aligned}

$\begin{align} EY_i&=a_i\exp(\mu_iT)EZ_i\\ var(Y_i)&=a_i^2\exp(2\mu_iT)var(Z_i) \end{align}$

そして、式を使用して多変量正規のMGFのために我々が持っています

\begin{aligned} E Y_{1} Y_{2} & = a_{1} a_{2} \exp ((μ_{1} + μ_{2}) T) E \exp (\sqrt{T} X_{1} + \sqrt{T} X_{2}) \\ = a_{1} a_{2} \exp ((μ_{1} + μ_{2}) T) \exp (\frac{1}{2} T (σ_{1}^{2} + 2 ρ σ_{1} σ_{2} + σ_{2}^{2})) \end{aligned}

$\begin{align} EY_1Y_2&=a_1a_2\exp((\mu_1+\mu_2)T)E\exp(\sqrt{T}X_1+\sqrt{T}X_2)\\ &=a_1a_2\exp((\mu_1+\mu_2)T)\exp\left(\frac{1}{2}T(\sigma_1^2+2\rho\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2)\right) \end{align}$

\begin{aligned} c o v (Y_{1}, Y_{2}) & = E Y_{1} Y_{2} - E Y_{1} E Y_{2} \\ = a_{1} a_{2} \exp ((μ_{1} + μ_{2}) T) \exp (\frac{T}{2} (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})) (\exp (ρ σ_{1} σ_{2} T) - 1) \end{aligned}

$\begin{align} cov(Y_1,Y_2)&=EY_1Y_2-EY_1EY_2\\ &=a_1a_2\exp((\mu_1+\mu_2)T)\exp\left(\frac{T}{2}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\right)(\exp(\rho\sigma_1\sigma_2T)-1) \end{align}$

$Y_1$ $Y_2$

\begin{aligned} ρ_{Y_{1} Y_{2}} = \frac{\exp (ρ σ_{1} σ_{2} T) - 1}{\sqrt{(\exp (σ_{1}^{2} T) - 1) (\exp (σ_{2}^{2} T) - 1)}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{Y_1Y_2}=\frac{\exp(\rho\sigma_1\sigma_2T)-1}{\sqrt{\left(\exp(\sigma_1^2T)-1\right)\left(\exp(\sigma_2^2T)-1\right)}} \end{align}$

— mpiktas
ソース

近似長いほどそのノート

1が有する上記に有効な最終式に見出される

e^{x} ≅ 1 + x

$e^x \cong 1+ x$

ρ_{Y_{1} Y_{2}} ≅ ρ

$\rho_{Y_1Y_2} \cong \rho$