異分散測定誤差を伴うAR（1）プロセス

1.問題

I変数のいくつかの測定値有する、、Iは、配信有するため簡単にするため、私は仮定しますMCMCを介して得られたが、平均値のガウス分布でありますと分散。 $y_t$ $t=1,2,..,n$ $f_{y_t}(y_t)$ $\mu_t$ $\sigma_t^2$

これらの観測の物理モデル、たとえばありますが、残差相関しているようです。具体的には、私がいることを考えるのは物理的な理由持っているプロセスを考慮に相関を取るために十分であろう、と私は、私は必要のあるMCMC、経由フィットの係数を求めることを計画する可能性を。解決策はかなり簡単だと思いますが、私にはよくわかりません（とても簡単に思えるので、何かが足りないと思います）。 $g(t)$ $r_t = \mu_t-g(t)$ $AR(1)$

2.尤度の導出

平均ゼロの $AR(1)$ プロセスは次のように記述できます

X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}, (1)

$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$ ここで、

ε_{t} \sim N (0, σ_{w}^{2})

$\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$ 。したがって、推定されるパラメーターは

θ = {ϕ, σ_{w}^{2}}

$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$ （私の場合、モデル

パラメーターも追加する必要がありますが、

g (t)

$g(t)$ それは問題ではありません）。しかし、私が観察しているのは変数

R_{t} = X_{t} + η_{t}, (2)

$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$ ここで

想定して

η_{t} \sim N (0, σ_{t}^{2})

$\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$ おり、

σ_{t}^{2}

$\sigma_t^2$ は既知です（測定エラー）。

X_{t}

$X_t$ はガウス過程であるため、

R_{t}

$R_t$ もそうです。特に、私はそれを知っています

X_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}]),

$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$ したがって、

R_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2}) .

$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$ 次の課題は、

に対して

を取得することです。このランダム変数の分布を導出するには、eqを使用することに注意してください。

書くことができます

eq。

、およびeqの定義を使用します。

、

eqを使用します。

この最後の式では、

したがって、

R_{t} | R_{t - 1}

$R_t|R_{t-1}$

t \neq 1

$t\neq 1$

(2)

$(2)$

X_{t - 1} = R_{t - 1} - η_{t - 1} . (3)

$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$

(2)

$(2)$

(1)

$(1)$

R_{t} = X_{t} + η_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t} + η_{t} .

$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$

(3)

$(3)$

R_{t} = ϕ (R_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$

R_{t} | R_{t - 1} = ϕ (r_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$ 、したがって、

R_{t} | R_{t - 1} \sim N (ϕ r_{t - 1}, σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}) .

$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$ 最後に、尤度関数を

L (θ) = f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) \prod_{t = 2}^{n} f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}),

$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$ ここで、

f (\cdot)

$f(\cdot)$ は、定義したばかりの変数の分布です。つまり、

定義しています

σ^{' 2} = σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2},

$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$

f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{' 2}}} exp (- \frac{r_{1}^{2}}{2 σ^{' 2}}),

$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$ および定義

σ^{2} (t) = σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}

$\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$ 、

f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} (t)}} exp (- \frac{(r_{t} - ϕ r_{t - 1})^{2}}{2 σ^{2} (t)})

$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$

3.質問

私の派生は大丈夫ですか？シミュレーション（これは同意しているように見える）以外に比較するリソースがなく、統計学者でもありません！
プロセスまたはプロセスの文献には、この種の事柄の派生がありますか？ $MA(1)$ $ARMA(1,1)$ このケースに特化できる一般的なプロセスの研究は良いでしょう。 $ARMA(p,q)$

— ネスター
ソース

解決策はまったくありません。しかし、これは一種のエラーイン変数の問題だと思います。私はトーマス・サージェント（1980年代の本）によるマクロ経済理論でこのようなものを見てきました。あなたはそれを見たいと思うかもしれません。

— メトリクス

入力をありがとう、@ Metrics。私は本をチェックアウトします！

— ネスター

回答:

あなたは正しい軌道に乗っていますが、与えられたの分布を導き出すのを間違えました：条件付き平均ははありません。それはであり、ここでは前期間からの最良の推定値です。の値には、と同様に以前の観測からの情報が含まれます。（これを見るために、とが無視できる状況を考えてください。固定平均を効果的に推定しています。多くの観測の後、についての不確実性は、 $R_t$ $R_{t-1}$ $\phi r_{t-1}$ $\phi \widehat{x}_{t-1}$ $\widehat{x}_{t-1}$ $X$ $\widehat{x}_{t-1}$ $r_{t-1}$ $\sigma_w$ $\phi$ $X$ $\sigma_{\eta}$ 。）これは、なくを観察するため、最初は混乱する可能性があります。これは、状態空間モデルを扱っていることを意味しています。 $R$ $X$
はい、カルマンフィルターと呼ばれる、ノイズの多い観測で線形ガウスモデルを使用するための非常に一般的なフレームワークがあります。これは、ARIMA構造およびその他の多くのモデルを持つものすべてに適用されます。時変は、確率的でない限り、カルマンフィルターでは問題ありません。たとえば、確率的ボラティリティを持つモデルには、より一般的な方法が必要です。カルマンフィルターの導出方法を確認するには、Durbin-KoopmanまたはHarveyの第3章を試してください。Harveyの表記では、モデルには、、、、およびます。 $\sigma_{\eta}$ $Z=1$ $d=c=0$ $H_t = \sigma_{\eta,t}^2$ $T=\phi$ $R=1$ $Q=\sigma^2_w$

— ジェイミーホール
ソース

こんにちはジェイミー、ご入力いただきありがとうございます。いくつかのコメント：1.それについてはわかりません。実際には、ソリューションとしての私の最初の試みでしたが、私の直感とシミュレーションの両方はそれと一致しません。問題は、実際にを観察せず、を観察することです。さらに、ランダム変数の条件付き平均であることを（算術的に）証明できますか（ではないことに注意してください））は実際にはですか？2.この特定の問題に対するカルマンフィルターの適用について詳しく説明してください。

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_{t}$

R_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}

$R_{t}|R_{t-1}=r_{t-1}$

R_{t} | X_{t - 1} = x_{t - 1}

$R_{t}|X_{t-1}=x_{t-1}$

ϕ {\hat{x}}_{t - 1}

$\phi \hat{x}_{t-1}$

— ネスター

こんにちはネストール、私はあなたのコメントに答えるために答えを編集しました。お役に立てば幸いです。

— ジェイミーホール

こんにちはジェイミー：2番目のポイントについては、大丈夫です、ありがとう:-)！しかし、私はまだあなたの最初のポイントを見ることができません。正式な派生物を教えていただけますか？特に、推論のどの部分が間違っているのか（そしてなぜ）知りたいのです！

— ネスター

ステップをスキップしました：与えられたの分布。それは、ここでは最初のステップで計算した分散で、はとの調和平均の2倍です。（これは、2つのGaussian pdfを使用したベイジアン更新に似ています。）式（3）は正式に正しいですが、代わりにそれを使用して情報を破棄しています。。

X_{1}

$X_1$

R_{1}

$R_1$

N (\frac{σ_{x, 1}^{2}}{(σ_{x, 1}^{2} + σ_{η, 1}^{2})} r_{1}, σ_{x, 2}^{2})

$N(\frac{\sigma^2_{x,1}}{(\sigma^2_{x,1}+\sigma^2_{\eta,1})} r_1, \sigma^2_{x,2})$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{x, 2}^{2}

$\sigma_{x,2}^2$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{η, 1}^{2}

$\sigma_{\eta,1}^2$

p (X_{t - 1} | R_{1 : t - 1})

$p(X_{t-1} | R_{1:t-1})$

— ジェイミーホール

-1

正直なところ、これをBUGまたはSTANでコーディングし、そこから心配する必要はありません。これが理論的な質問でない限り。

— デビッドショー
ソース

（-1）この応答に対して。これは明らかに理論的な質問です;-)。BUGまたはSTANでコーディングする必要があると思われる理由と、元の質問との関係を改善することを検討してください。

— ネスター14年