ベイジアン95％予測区間の解釈

次の二変量回帰モデルを仮定 IIDであるのために。

y_{i} = β x_{i} + u_{i},

$y_i = \beta x_i + u_i,$

u_{i}

$u_i$

N (0, σ^{2} = 9)

$N(0, \sigma^2 = 9)$

i = 1, \dots, n

$i = 1,\ldots, n$

noninformative前想定、のための事後PDFことを示すことができるであるここで $p(\beta) \propto \text{constant}$ $\beta$

p (β | y) = (18 π)^{- \frac{1}{2}} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})}^{\frac{1}{2}} \exp [- \frac{1}{18} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} (β - \hat{β})^{2}],

$p(\beta|\mathbf{y}) = (18\pi)^{-\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left[-\frac{1}{18}\sum_{i=1}^n x_i^2 (\beta - \hat{\beta})^2\right],$

\hat{β} = (\sum_{i = 1}^{n} y_{i} x_{i}) / (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) .

$\hat{\beta} = (\sum_{i=1}^n y_ix_i)/(\sum_{i=1}^n x_i^2).$

今の値考慮所定の将来値と、：はiid、は、期待値と分散したがって、条件とするの事後確率密度関数は、 $y$ $x$ $x_{n+1}$

y_{n + 1} = β x_{n + 1} + u_{n + 1},

$y_{n+1} = \beta x_{n+1} + u_{n+1},$

u_{n + 1}

$u_{n+1}$

N (0, σ^{2} = 9)

$N(0, \sigma^2 = 9)$

p (y_{n + 1} | x_{n + 1}, y) = \int_{β} p (y_{n + 1} | x_{n + 1}, β, y) p (β | y) d β

$p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = \int_{\beta} p(y_{n+1}|x_{n+1}, \beta, \mathbf{y}) p(\beta|\mathbf{y})d\beta$

E [y_{n + 1} | x_{n + 1}, y] = \hat{β} x_{n + 1}, v a r [y_{n + 1} | x_{n + 1}, y] = \frac{9 [x_{n + 1}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}]}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}} .

$E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \hat{\beta}x_{n+1},\quad {\rm var}[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \frac{9[x_{n+1}^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2]}{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$

y_{n + 1}

$y_{n+1}$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

\begin{aligned} p (y_{n + 1} | x_{n + 1}, y) = & {(\frac{18 π [x_{n + 1}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}]}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \\ \times \exp {- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{18 (x_{n + 1}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})} {(y_{n + 1} - \hat{β} x_{n + 1})}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = &\left(\frac{18\pi\left[x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right]}{ \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ & \times \exp\left\{-\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}{18\left(x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right)}\left(y_{n+1}-\hat{\beta}x_{n+1}\right)^2\right\} \end{align}$

ここでの問題は、 95％の予測間隔を指定し、それを慎重に解釈することです。データ生成プロセスのどの側面で、間隔は不確実性に対応できませんか？ $y_{n+1}$

質問への答え方はよくわかりませんが、これが私の試みです。

そう本質的に我々はいくつか見つける必要がとように $a$ $b$ $P(a < y_{n+1} < b) = \int_{a}^b p(y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y}) dy_{n+1} = 95\%$

でことがわかりました。ここで、および、したがって、 $y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y} \sim N(m, v^2)$ $m = E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$ $v^2 = var[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$

\frac{y_{n + 1} - m}{v} \sim N (0, 1)

$\frac{y_{n+1}-m}{v} \sim N(0,1)$

P (- 1.96 < \frac{y_{n + 1} - m}{v} < 1.96) = 95 %

$P(-1.96 < \frac{y_{n+1}-m}{v} < 1.96) = 95\%$

P (- 1.96 v + m < y_{n + 1} < 1.96 v + m) = 95 %

$P(-1.96v+m < y_{n+1} < 1.96v+m) = 95\%$

ここで、を条件にしてと式を調べているので、と両方が既知の値であることがわかります。したがっておよびをとることができます。つまり、確率をもたらすと他の多くの可能性を選択できますがこれは、この間隔がデータ生成プロセスのどの側面に対応できないかを尋ねる質問の回答にどのように関係しますか？ $x_{n+1}$ $v$ $m$ $v$ $m$ $a = -1.96v+m$ $b = 1.96v+m$ $a$ $b$ $95\%$

— TeTs
ソース

宿題や教科書の問題の場合は、「自習」というタグを追加してください。

— Nick Cox

@Nick Coxお知らせいただきありがとうございます。自習タグを追加しました。

— TeTs 2013

間隔は、具体的にはデータ生成プロセスの形についての理解を与えていないのでしょうか？つまり、間隔だけでは平均/分散の組み合わせがわかりませんか？

奇妙な質問。演習前の状況はありますか？なぜ二変量回帰モデルを言うのですか？

— ステファン・ローラン

$\beta$ $u$

— トム・ミンカ
ソース

モデルが正しいかどうかについては不確実性が残っています。

— 西安14年

モデルは仮定として述べられました。したがって、それについて不確実性はありません。

— Tom Minka、2014年

私が意味するところは、予測分布は問題のすべての不確実性を表し、区間はその分布のいくつかの側面のみを要約することです。それでも、間隔としてそれが何かを除外することは明らかではありません。

— 2014