詳細なバランスを満たすMCMCは定常分布をもたらしますか？

遷移確率と定常分布πに対して、マルコフ連鎖はq （x | y ）π （y ）= q （y | x ）π （x ）$q$$\pi$

$$q(x|y)\pi(y)=q(y|x)\pi(x),$$

これは、次のように言い換えると、より理にかなっています。

$$\frac{q(x|y)}{q(y|x)}= \frac{\pi(x)}{\pi(y)}.$$

基本的に、状態から状態yへの遷移の確率は、それらの確率密度の比に比例するはずです。$x$$y$

詳細なバランスを満たすMCMCが常に定常分布をもたらすことは真実ではありません。エルゴードになるプロセスも必要です。その理由を見てみましょう：

$x$$i$$p_t(i)$

$$p_t(i) = \sum_{j} \Omega_{j \rightarrow i} p_{t-1}(j)$$

$\Omega_{j \rightarrow i}$$q(x|y)$

だから、私たちはそれを持っています

$$p_t(i) = \sum_{j} (\Omega_{j \rightarrow i})^t p_{0}(j)$$

$\Omega_{j \rightarrow i}$

$p_{0}(j)$

• $\Omega$

$\pi$

• $\pi$

エルゴード性は1.を意味し、詳細なバランスは2.を意味します。そのため、どちらも漸近収束の必要かつ十分な条件を形成します。

詳細なバランスが意味する理由2：

から始まる

$$p(i)\Omega_{ij} = \Omega_{ji} p(j)$$

$j$

$$p(i) = \sum_{j}\Omega_{ji} p(j)$$

$\sum_{j} \Omega_{ij} = 1$

上記の方程式は固有値1の定義です（これをベクトル形式で書くと簡単に確認できます）

$$1.v = \Omega\cdot v$$

なぜなら、詳細なバランスが満たされている場合、既約MCは一意の定常分布を持っているためですが、初期分布から独立しているため、非周期的でなければなりません。

MCMCの場合、データポイントから開始して、新しいポイントを提案します。提案されたポイントに移動する場合と移動しない場合があります。つまり、既約MCを非周期的にする自己ループがあります。

現在、DBを満足させることにより、DBは正の反復状態をもちます。つまり、状態への平均戻り時間は有限です。そのため、MCMCで構築するチェーンは、既約で非周期的で正の再発です。つまり、エルゴディックチェーンです。

既約エルゴディックチェーンの場合、最初の分布とは無関係で独立した定常分布が存在することがわかります。