指数確率変数の達成可能な相関

指数分布の確率変数とのペアの達成可能な相関の範囲は何ですか。ここで、はレートパラメータ？$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

（または\ rho _ {\ max}）が、X_1とX_2の間の達成可能な相関の下限（または上限）を示すとしましょう。境界\ rho _ {\ min}と\ rho _ {\ max}は、X_1とX_2がそれぞれカウンター単調でコモノトニックである場合に到達します（ここを参照）。$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

下限下限\ rho _ {\ min}
を決定するために、対単調指数変数を作成し、それらの相関を計算します。$\rho_{\min}$

ここで述べた必要かつ十分な条件と確率積分変換は、ランダム変数とように構築する便利な方法を提供します。 指数分布関数はであることを思い出してください。したがって、分位関数は。$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

LET均一に分布したランダム変数であり、次いで、また均一に分布ランダム変数さ は、それぞれレートおよびの指数分布を持っています。さらに、およびであり、関数および、はそれぞれ増加および減少しています。$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

次に、と相関を計算してみましょう。指数分布の特性により、、、、および。また、 where$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$標準一様分布の密度関数です。最後の同等性については、WolframAlphaに依存しました。

したがって、 下限はレートとに依存せず、両方のマージンが等しい場合（つまり）でも相関はに到達しないことに注意してください。

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

アッパーには、バインドされ
た上限を決定するために我々はcomonotonic指数変数のペアで同様のアプローチに従ってください。ここで、およびここで、 および、どちらも増加する関数です。したがって、これらの確率変数は共単調で、どちらも指数および指数分布します。$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

我々は 、したがって 下限と同様に、上限はレートおよび依存しません。

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$