設計マトリックスの「設計」の意味は？

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線形回帰では、、なぜは設計行列と呼ばれますか？は、アートのようにある程度まで任意に設計または構築できますか？ $Y= X\beta$ $X$ $X$

regression terminology

— ティム
ソース

3

この用語の起源はかなり古いものであり、実験の分析における推論統計の起源に戻っていると思います。特に、Xマトリックスが実際の実験計画（

x

$x$ 値の特定の設定）に関連する方法に言及していると思います。特定の参照が見つかった場合は、回答を投稿します。

— Glen_b-モニカを復活

@Glen_b：ありがとう！「設計」は、入力変数での変換の選択と関係があるので、出力変数も変換された入力変数で線形になりますか？たとえば、多項式回帰の設計行列？

— ティム

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実験を設計するとき、

の値を指定します

X

$X$ 。

— whuber

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@neverKnowsBestの応答に沿った例を示すために、要因実験では3つの因子があり、それぞれが2レベルのカテゴリー変数として扱われ、各複製内で因子レベルの可能な組み合わせがテストされることを考慮してください。実験が1回だけ実行された場合（複製なし）、この設計では回の実行が必要になります。実行は、次の8x3マトリックスで記述できます。 $2^3$ $2^3=8$ ここで、行はランを表し、列は因子のレベルを表します：（最初の列は因子Aのレベル、2番目の列B、および3番目の列Cを表します）。これは、実験の計画を記述するため、設計マトリックスと呼ばれます。最初の実行はすべての因子の「低」レベルで収集され、2番目の実行は因子Aの「高」レベル、および因子BとCの「低」レベルで収集されます。

[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]

$\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$

[\begin{array}{rr} A & B & C \end{array}] .

$\left[\begin{array}{rr} A & B & C \\ \end{array} \right].$

[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]

$\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$

[\begin{array}{rr} 私 & A & B & C & A B & A C & B C & A B C \end{array}] 。

$\left[\begin{array}{rr} I & A & B & C & AB & AC & BC & ABC \\ \end{array} \right].$

引用

モンゴメリー、D。（2009）。実験の設計と分析、第7版。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ

— チネル
ソース

9

$\mathbf{X}$ $\mathbf{X}$ $\mathbf{X}$ $\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

実験の設計は、データが収集される前に行われるため、設計マトリックスとモデルマトリックスの構築方法に焦点を当てています。データがすでに収集されている場合、設計は明確に設定されますが、モデルマトリックスは変更できます。設計された実験では、制御できないが観察できる共変量と呼ばれる特定の固定列が設計マトリックスに含まれることがあります。

モデルと設計の選択に応じて発生する可能性のあるものがあります...特定のパラメーターを推定することが難しくなる可能性があります（推定量のより大きな分散）または特定のパラメーターをまったく推定できない場合があります。適切なモデルを決定することには、アートの要素がいくつかあり、実験を設計するためのアートがあることは確かです。

— neverKnowsBest
ソース

2

これは非常に役立ちますが、ここに「共変量」に関する脚注があります。一部の人々は、あらゆる種類の予測変数または独立変数に対してこの用語をはるかに広く使用しています。（当然、他にも多くの同義語が存在します。）

— ニックコックス

（+1）あなたの最初の貢献にとても感謝しています-私たちのサイトへようこそ！

— whuber

2

$X$ $X$ $X$ $\beta$

2

$X$

Xは、アートのようにある程度まで任意に設計または構築できますか？

基本的に、この質問は「製造データに基づいてトレーニングされたモデルを構築できますか」に要約されますが、その答えは明らかに「はい」です。たとえば、事前定義された勾配と切片を持つモデルを提供する任意の設計行列（実際には設計ベクトル）を作成する1つの方法を次に示します。

design_mat=function(b, a){
  X = runif(100)
  Y = a*X + b
  data.frame(X,Y)
}

df = design_mat(-5, 12.3)

(lm(Y~X, data=df))

Call:
lm(formula = Y ~ X, data = df)

Coefficients:
(Intercept)            X  
       -5.0         12.3

私の例では、説明のためにランダム設計データから応答を「構築」しましたが、を使用してランダム応答から設計行列を簡単に構築できます $X = \frac{Y-b}{a}$

— デビッド・マルクス
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